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 congruence (i3), on trouve aisément que le nombre des fonctions linéaires 

 dont l'ordre n différent de a divise p — i est 



zPJp + }Y?(n)ï 



et si l'on désigne par N 2 le nombre total de ces fonctions linéaires dont 

 l'ordre est un diviseur de p — i autre que a, on aura 



or, d'après un théorème de Gauss, l'expression 2<f{n), où n ne doit recevoir 

 que des valeurs supérieures à 2, est égale à p — 3, on a donc 



_ pjp + i) (p — 3) 



» Dans le cas que nous considérons, où la quantité t est réelle ec diffé- 

 rente de zéro, la congruence 



Qz~z (mod p) 



a toujours deux racines réelles et inégales z et z, qui peuvent être deux 

 quelconques des nombres 



o, 1, -à, 3,..., (p — 1), oo; 



ces nombres étant considérés comme des indices et représentés généralement 

 par z, on conclut aisément de ce qui précède que la substitution 



(•:) 



laissera invariables les indices z et z, , mais qu'elle déplacera les p — 1 

 autres indices. Il est facile aussi de reconnaître que la substitution précé- 

 dente est du genre de celles que M. Cauchy a nommées régulières; cette sub- 

 stitution sera même circulaire si l'ordre de la fonction linéaire $ z est préci- 

 sément égal à p — 1 . 



» 7. Supposons maintenant que la quantité (a H- A') 2 — l^{ab' — ba!) 

 soit non résidu quadratique du module p. Alors, en faisant abstraction du 

 cas de n = 1 examiné précédemment, on voit que les quantités t et i sont 

 imaginaires, et je dis que le nombre n qui marque toujours l'ordre de la 

 fonction Qz est un diviseur de p + 1 . En effet, si l'on pose 



