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 ordre; on retrouve ce résultat en ajoutant les cinq nombres i,N ,N,,N 2 , N 3 . 

 « Dans le cas qui nous occupe en ce moment, la congruence 



0z = z (mod/?) 

 n'a aucune racine réelle. Il suit de là que si l'on représente par z l'un quel- 

 conque des p + i indices 



o, i, 2,..., [p — i), », 



la substitution 



'6zN 



déplacera tous les indices. Il est évident que cette substitution est régulière 

 et qu'elle est même circulaire, dans le cas où l'ordre de la fonction Qz est 

 égal à p -H i. Dans ce dernier cas, la suite des indices que nous considérons 

 peut être représentée par 



z, 6z, Ô 2 z,..., 6p-*z, 



■ z désignant l'un quelconque d'entre eux. 



» 8. Pour donner un exemple de cette théorie, proposons-nous de for- 

 mer les fonctions linéaires d'ordre p -+- i, pour les modules 5, 7, 1 1; tout 

 se réduit à trouver les valeurs de k relatives à ces trois modules. Or les ra- 

 cines primitives i sont données pour ces différents cas par les congruences 



(,-,) (/■-») -° ( mod5 )' ^=° ( nlod 7)' (.-,)(,"-,) =° ( modI1 )' 



OU 



P— i + i^=o (mod5), i 2 ±:3i+i=o (mod7), j' 2 ±5j-|-i=o, (modii); 



on a donc k = 1 pour le module 5, k = ± 3 pour le module 7, k = ± 5 

 pour le module 1 1. 



» 9. Je ne puis entrer ici dans le détail des diverses propriétés des 

 fonctions linéaires dont j'ai présenté la classification dans les paragraphes 

 précédents; je me bornerai à un seul théorème qui suffira pour donner une 

 idée de l'importance de la théorie et qui me permettra de signaler une appli- 

 cation remarquable. 



» Théorème. — Soient Qz une fonction rationnelle linéaire d'ordre p + i 

 pour le module p, etrsz une fonction rationnelle linéaire d'ordre quelconque. 

 Soit aussi m un entier quelconque donné, on pourra toujours assigner un entier n 

 tel que l'on ait 



Q m 7sB"z = une fonction linéaire entière; 



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