( i«i ) 

 en outre si m prend successivement les p -\-i valeurs o, i , 2, 3, . . . , p, le nombre n 

 prendra aussi successivement toutes les mêmes valeurs. Il faut se rappeler que 

 6°z représente la variable z elle-même. 

 Soient 



Pour que la dernière fonction soit entière, il faut et il suffit que l'on ait 

 A'=o [moàp); en remarquant que, d'après les formules (8) du n° 2, 



, a' 1 . , , 



a,„ = -j- b„ n on trouve aisément que cette congruence peut s écrire 



_b 



Or, par hypothèse, la fonction 0z est d'ordre /? -+- 1 ; il s'ensuit d'abord 



que — ne peut être nul ni infini, puisque, s'il en était ainsi, la quantité 



(rt'-f- b) 2 — [\{ab' — bcï) serait résidu quadratique de p, ce qui ne peut 

 être. En second lieu, quand m reçoit successivement chacune des valeurs 



(2) o, 1, 2, 3,..., p, 

 6 m (o) prend successivement toutes les valeurs 



(3) o, 1, 2, 3, . .., (p — i), », 



et, par suite, il en est de même du second membre de la congruence (1). 

 Pareillement quand n reçoit successivement toutes les valeurs (2), 6" (oc) 

 prend successivement toutes les valeurs (3), et dès lors il en est de même 

 du premier membre de la congruence (1), c'est-à-dire de sj0"(co). Donc 

 à chaque valeur donnée de m correspond une valeur de n propre à véri- 

 fier la congruence (1), et réciproquement à chaque valeur donnée de n cor- 

 respond une valeur de m qui vérifie la même congruence. C Q. F. d. « 



ALGÈBRE. — Sur la résolution par radicaux des équations dont le degré est une 

 puissance d'un nombre premier. (Extrait d'une Lettre de M. Henri Betti 

 à M. Hermite.) 



« Dans un Mémoire publié dans les Annali di Tortolini, année 1 855, je me 

 suis occupé du problème suivant : 



« Trouver la fonction algébrique la plus générale de plusieurs quantités 

 s A, B, C,..., qui ait un nombre, puissance p* d'un nombre premier, de 



