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 ,or si m désigne un nombre quelconque, il est clair que la fonction étant 



/ ET 9"Z \ 



d'ordre/? + i , on pourra effectuer la substitution | ) en faisant d'abord 



~ 1, puis la substitution ( J -, on peut donc écrire 



W B ~\ *)\ W V °'.' 



égalité où les nombres m et n sont l'un et l'autre arbitraires. Mais, d'après !e 

 théorème du n° 9, à chaque valeur de m correspond une valeur de n telle que 

 la fonction 6 m rz$ n z est entière, et, en outre, quand l'un des nombres m et n 

 reçoit successivement les p + i valeurs o, i, 2,...,/?, l'autre nombre prend 

 successivement toutes ces mêmes valeurs. Si donc m et n sont choisis de 

 manière à réaliser les conditions du théorème que je viens de rappeler, 

 comme la fonction V est invariable par les substitutions linéaires et entières, 

 on aura 



' (*:)v.=(^;)v« ' 



(" z \v -y 



1 z / " — p+i-mi 



et, je le répète, si dans cette formule l'un des nombres m et n prend suc- 

 cessivement les/? + i valeurs o, i, 2, 3,..., p, l'autre nombre prendra aussi 

 successivement toutes ces mêmes valeurs. 



» On arrive ainsi à cette conséquence remarquable que les p -+■ 1 Jonctions 



(7) . v , v ( , v 2 ,..., v p 



forment un système qui est invariable par une substitution rationnelle linéaire 

 quelconque; c'est-à-dire qu'une telle substitution ne peut que permuter entre elles 

 les fonctions du système. 



» Si donc T désigne une fonction rationnelle et symétrique des p -t- 1 

 fonctions (7), cette fonction sera invariable par une substitution rationnelle 

 linéaire quelconque. En particulier, la fonction T sera invariable par trois 

 substitutions rationnelles linéaires des ordres p -+- 1 , />, p — 1 respective- 

 ment, prises à volonté, ce qui suffit pour établir que cette fonction est trois 

 fois transitive, et, par suite, que le nombre de ses valeurs est en général 

 i,u,..., [p — 2). On voit aussi que la fonction T ne peut rester générale- 

 ment invariable que par les seules substitutions rationnelles que nous avons 



ou 



