( 2 9! ) 



par M. Jerrard, et d'après lequel les racines de toute équation du cinquième 

 degré s'expriment à l'aide de celles de l'équation précédente, en n'em- 

 ployant d'autres irrationnalités que des radicaux carrés et cubiques, on en 

 conclut la possibilité de donner, en fonction des coefficients, les expressions 

 des racines d'une équation quelconque du cinquième degré. Mais ces 

 expressions sont des fonctions très-compliquées : il peut donc être utile 

 d'avoir plusieurs types d'équations du cinquième degré dont les racines 

 soient connues d'avance, et auxquelles on puisse comparer une équation 

 donnée. La théorie des fonctions elliptiques fournit plusieurs équations 

 susceptibles de répondre à cette question. Le but de cette Note est d'en 

 indiquer une. 



» Nous allons d'abord rappeler quelques définitions. Soient K et K' les 

 deux fonctions complètes de l'intégrale elliptique 



f fo 



J i — A 1 sin 2 ç 



c'est-à-dire 



K= r- r-^y , £' = f <1 : 



et 



K' 



q = e K . 



La racine quatrième U du produit du module par son complément s'exprime 

 au moyen de q par ces fonctions dont la découverte est due à Jacobi : 



,-s- i— q — q'+q" ■+■■■■ ,- 8/ - z — i "V" + "" 

 U = \7. \q —, — - — = ua \q — -A 



En posant 



q = e' 1 " 1 ' 



nous désignerons U par g (u). Relativement à cette variable w, la fonction U 

 sera affranchie de toute ambiguïté. Rappelons encore qu'en désignant par n 

 un nombre premier, et posant 



C.R., 1&S9, f « Semestre. (T. XLVIU, N°a.) 3o, 



