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 en considérant la fonction suivante 



;M = [|,5 M ,- Ç ( i )][l(^)-|(^|^)][l("-^)-«( ï± ^)} 



analogue de celle dont s'est servi M. Hermite pour réduire au cinquième 

 degré l'équation modulaire du sixième. 

 » Effectivement les quantités 



S(w), S(u-t-i6), 3(w + 2.i6), E(w + 3.i6), S(w + 4-i6), 



sont les racines d'une équation du cinquième degré, dont les coefficients 

 sont des fonctions entières de U. 



» En s'aidant d'un théorème déjà énoncé dans les Comptes rendus (*), et 

 qui permet de prévoir ce que deviennent les racines de la réduite lorsqu'on 



y change U en — -, on parvient sans peine à mettre cette réduite sous la 

 forme 



x* ■+■ AU 6 x 3 + BU 5 (1 - 4U 8 )a? 2 + (C + DU 8 H- i6CU' 6 ) U'x -+- A = o, 



A, B, C, D représentant des coefficients constants, et A la racine carrée du 

 discriminant de l'équation entre V et U, savoir 



A = - 5 2 v/52 6 U 3 (i - 4U 8 )(i+ 2». i 7 U 8 + 2 4 U ,e ). 



De plus, en faisant U = 7^» l'une des racines de la réduite est nulle, et le 



v 2 

 théorème énoncé plus haut , en permettant d'assigner les valeurs que 



prennent alors 



1 -t-i6^ 



Ç(5»), Ç(J), §(! 



apprend que des quatre autres racines deux sont égales à \0i\J1 et les deux 

 autres à — lOtya. On peut ainsi réduire à deux le nombre des coefficients 

 qui restent à trouver, et notre équation devient 



.T ( x 2 + 4oo U 6 ) 1 + BU 5 (1 - 4U 8 ) .x 2 + CU*a? (1 - 4 U 8 ) 2 + A = o. 



(*) Août i858, p. 34i. 



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