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 » I. Je rappellerai d'abord qu'en posant 



f— ax 3 4- 3 bx"y -f- 3 ex y 2 ■+■ dy 3 = a ( x — cty)(x — fiy) (x — yjr) 



je définis cette forme comme réduite si, toutes les racines étant réelles, le 

 covariant 



■ = Ax 2 -h 2 Bxy-+- Cy 2 , 



et dans le cas où a est seule racine réelle, j3 et y étant imaginaires conju- 

 guées, ce second covariant 



•2 



*= \l) [ 2 ( a -P)( a -7)(^-^)(^-7j)-(P-7) 2 (^-«J; 2 ] 

 = P.r 2 -+- iQxy + R/* 



sont des formes réduites dans le sens propre aux formes quadratiques à dé- 

 terminant négatif. La grande différence de ces deux cas tient à ce que ç 

 s'exprime rationnellement par les coefficients de f, tandis que ty, fonction 

 symétrique en p et -y seulement, est essentiellement irrationnelle. Cepen- 

 dant ces propositions, faciles à établir, leur sont communes : 



» i°. Deux formes réduites distinctes représentent, en général, deux 

 classes différentes, et si elles sont équivalentes, elles se déduisent lune de 

 l'autre par les substitutions qui changent en elles-mêmes les formes 

 x 2 ■+■ y 2 , x 2 ±l xy + y 2 . 



» 2°. Soit D = B 2 — AC le déterminant ou invariant de y et A sa valeur 

 absolue, les coefficients de la forme réduite vérifient les conditions 



^<(!)vâ, fc<(0\â 



Mais à l'égard de ces limitations, une étude plus approfondie de la théorie 

 de la réduction fait voir qu'il y a lieu de distinguer les deux cas, et pour 

 D < o, M. Arndt a déjà reconnu qu'elles devaient être remplacées par 



celles-ci : 



Ud< \/~^ bc <\/^- 



Je vais, avant d'aborder des questions plus difficiles, m'arrèter un instant 

 sur ce point. 



