( 356 ) 



et alors les premiers membres étant des fonctions symétriques des racines 

 de la forme f(x, y) pourront s'exprimer rationnellement en a, b, c, d. 

 Le calcul auquel on est ainsi conduit s'effectue aisément si l'on observe que 

 ù — <p est un carré, et qu'en faisant ty — f = y£, les trois valeurs de ^ sont 

 données par l'équation 



X 3 + !?/-VD/=°. 



2 



» De la sorte on parvient au résultat suivant : Les conditions nécessaires et 

 suffisantes pour qu'une forme cubique f{x, y)=ax i -\-3bx 2 y- J r'icxy i + dy* 

 de déterminant positif D soit réduite sont: 



i(A + 2£B) 3 + 3D(A + 2£B) + D/((,0)_/'(l,2£)>0, 



JL (C _A) 3 + 3D(C-A) + D/(i, i)/(-i, .)>o. 

 » On peut, en introduisant le covariant cubique 



6 \dj: dy dy dx) 

 les présenter sous cette autre forme : 



F(i, o)F(i, a£ )-f-D/(i,o)/(t, a£ )>o, 

 F(i, i)F(-i, i)+D/(i,i )/(-i, i)>o. 



» La question de la réduction des formes cubiques de déterminant positif 

 est ainsi complètement résolue, et c'est l'objet que j'avais principalement en 

 vue dans cette Note. Je la terminerai en indiquant un point de vue sous 

 lequel on peut la rapprocher de la réduction des formes de déterminant né- 

 gatif, où l'on se sert du covariant quadratique y = (A, B, C). A cet effet, 

 j'observe que le second covariant ty = (P, Q, R) satisfaisant à l'équation 



4^ 3 — 3<3> a <|; — 9 S — D/ a =o, 

 on en tire 



F+/v / D\! , /F-/v/D\i 



'=(' 



» Or, en posant <p = A (.r — py) {x — oy), on reconnaît aisément que 

 cette expression est de la forme m (x — p y) 2 -+- n (x — a y)*, met n ayant 

 des valeurs essentiellement positives, de sorte que ty étant supposée réduite, 

 y se trouve nécessairement dans le groupe de formes également nommées 



