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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — N oie sur les fonctions d'une variable imaginaire; 



par M. J. Bertrand. 



« En présentant à l'Académie, de la part de MM. Briot et Bouquet, un 

 exemplaire de l'important ouvrage qu'ils viennent de publier sur la théorie 

 des fonctions doublement périodiques, je demande la permission de faire quel- 

 ques remarques relatives à la théorie générale des fonctions d'une variable 

 imaginaire. 



» MM. Briot et Bouquet, en adoptant complètement dans leur ouvrage, 

 comme définition d'une fonction de la variable x ■+■ y \j — i, celle à laquelle 

 Cauchy s'était arrêté dans les dernières années de sa vie, se sont abstenus 

 de faire connaître l'histoire de ses nombreux travaux sur cette importante 

 question. Mon but principal dans cette Note est de suppléer rapidement à 

 cette lacune en rappelant le point de départ des recherches de l'éminent 

 géomètre, et les formes diverses qu'il a successivement voulu donner à cette 

 théorie qu'il a créée. L'étude des fonctions imaginaires est, en effet, la ques- 

 tion sur laquelle il est revenu avec le plus de persévérance, et l'on peut dire 

 que pendant quarante années il en a été constamment préoccupé. 



» C'est dans le Mémoire de 1 8 14 sur les intégrales définies qu'on trouve 

 le premier résultat général, applicable à une fonction quelconque et se dé- 

 montrait indépendamment de la forme particulière de cette fonction. Cau- 

 chy est conduit, en effet, par la théorie des intégrales doubles, à démontrer 

 que pour calculer une intégrale définie 



/ <p{x)du, 



J ûO 



il suffit, quelle que soit la fonction <p, d'étudier cette fonction pour les va- 

 leurs infiniment peu différentes de celles qui satisfont à l'équation 



<p (x) = ce . 



Il est bien remarquable que ce beau résultat sur lequel l'auteur lui-même ne 

 paraissait pas appeler l'attention, soit resté en quelque sorte inaperçu, et que 

 Legendre, dans le Bapport très-détaillé qu'il a fait sur ce Mémoire, n'insiste 

 aucunement sur l'importance propre et sur la singularité d'un théorème 

 aussi extraordinaire. 



» Le même théorème se retrouve avec une démonstration plus directe 

 dans le Mémoire de 182.1 sur les intégrales prises entre des limites 



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