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imaginaires, et quand on lit successivement les Mémoires deCauchy, on re- 

 connaît sans peine que c'est encore l'étude du même théorème qui a dû le 

 conduire dix ans plus tard aux principes de calcul des résidus. 



» Ce que les divers Mémoires que je viens de citer contiennent d'entiè- 

 rement nouveau à mes yeux, c'est l'existence de propriétés générales indé- 

 pendantes de la forme des fonctions auxquelles elles s'appliquent. Malheu- 

 reusement on n'y trouve nulle part une définition précise de ce qu'on doit 

 entendre par une fonction, et cette omission sur un point aussi capital auto- 

 risait à conserver quelques doutes sur la théorie nouvelle. 



» Cela est si vrai, qu'un géomètre éminent opposait, en 1 829, à l'une des 

 démonstrations de M. Cauchy, l'objection suivante : « La marche que ce 

 » célèbre géomètre suit, exige que l'on considère les valeurs que prend la 

 » fonction <p [x) quand on y remplace x par u -+- v \j — 1. La considéra- 

 » tion de ces valeurs semble étrangèrejà la question et l'on ne voit pas bien 

 » d'ailleurs ce que l'on doit entendre par le résultat d'une pareille substitu- 

 » tion lorsque la fonction dans laquelle elle a lieu ne peut pas être exprimée 

 <> par une formule analytique. 



» On voit cependant Cauchy, suivant toujours le même ordre d'idées et 

 sans se préoccuper de la définition précise des fonctions, donner en 1 83 1 

 son beau théorème sur la convergence de la série de Taylor, et démontrer 

 de nouveau, en i83g, que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une 

 fonction soit développable en série ordonnée suivant les puissances entiè- 

 res de la variable est qu'elle reste continue et finie pour les valeurs de la 

 variable dont le module est inférieur à celui que l'on considère. 



» C'est en étudiant les applications de ce théorème et en partie pour ré- 

 pondre aux objections qui lui furent adressées, que Cauchy s'occupa enfin 

 de définir nettement les fonctions continues dont il est question dans ses 

 Mémoires. 



» Après avoir varié plusieurs fois, il est arrivé, quelques années avant sa 

 mort, à regarder toute expression de la forme 



u — F{x,jr) + ^{x J jW- 1 



comme une fonction de x -+- j\j — 1, et à distinguer, sous le nom de fonc- 

 tions monogènes, celles qui ont une dérivée, c'est-à-dire les fonctions telles, 

 que le rapport de leur accroissement à celui de la variable ait, pour chaque 

 valeur de la variable, une limite déterminée. Si l'on adopte cette définition, 

 en relisant les premiers Mémoires de Cauchy, il faut bien remarquer que les 



