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 F (je) =S o (mod p) ; considérons l'expression a -4- a, i + . . . -+- «„_, i"~' , 

 dans laquelle a , rt,, . . ., «„_, sont des nombres entiers dont on prend les 

 valeurs par rapport au module p: cette expression, dont la considération est 

 due à Galois, est susceptible de p v valeurs; mettons ces p' quantités comme 

 indices à la lettre x, et nous aurons un système de p" variables. 



» Désignons par oi une racine primitive de la congruence af*~' = i (mod/)), 

 ces p" variables pourront être représentées par x , x u ar„, jc m ,, . . ., x i y_ 2 ; 

 désignons aussi par <p[(.r ), ce,, x a , x a „ .. ., x u p»-i] une fonction qui n'est 

 pas changée par la substitution circulaire (x t , x u , x w „ . . ., J^-a); faisons 

 sur cette fonction les p" substitutions comprises dans l'expression [x 2 , x i+ls ], 

 nous aurons ainsi p» fonctions qui sont comprises dans la formule 



k étant une quelconque des quantités a -+- a, i -t- . . . 4- a.,_ t i'-'. Posons une 

 fonction symétrique de ces p 1 fonctions, et nous aurons une fonction 

 de p" variables 



( N ) *(•*•(>, x,, $m *«*,.., Je^».,), 



qui est deux fois transitive et qui a i . 2 . . Ap J — 2) valeurs. 



» Désignons par x' une [p" -+■ i) ième variable, qui entre d'une manière 

 arbitraire dans la fonction (N); faisons sur cette fonction les /> y substitutions 

 comprises dans l'expression [x\, x' 2+k ], les x' étant déterminés par les 

 égalités 



X { as X, , X m — X^-î, »„i = Xup'-ï, ■ ■ ••> & u h = a^-i-,*, • • ■■> 



nous obtiendrons ainsi p' fonctions $ ; ajoutons-y la fonction 



$(jc' , x\, <, <>,..., x" ap >_,); 



enfin prenons une fonction symétrique de ces p» ■+■ 1 fonctions, nous aurons 

 une fonction 0, qui est la forme générale des fonctions trois fois transitives 

 de p' ■+• 1 variables, qui ont 1 . 2 ...(/?" — 2) valeurs. 



» Soient T et T deux fonctions semblables à 0, et soit v une fonction 

 des mêmes variables, qui a deux valeurs ; si p est différent de 2, T + T v est 

 une fonction deux fois transitive de p" + 1 variables qui a 1 .2. . . (p* — 2) x 2 

 valeurs. 



» On arrive à tous ces résultats par des raisonnements presque identiques 

 à ceux qui m'ont servi dans le Mémoire du 2 novembre dernier. » 



C. R., i85 9 , i" Semestre. (T. XLVIII, W« 17. ) " * 



