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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Sur les coordonnées curvilignes planes quelcon- 

 ques; par M. l'abbé Aofst. 



(Commissaires, MM. Liouville, Lamé, Bertrand.) 



« Les coordonnées curvilignes orthogonales ont été introduites dans 

 l'analyse par M. Lamé, qui en a montré l'usage et l'importance. Dans un 

 Mémoire spécial, ce géomètre distingué a démontré les propriétés princi- 

 pales de ce système de coordonnées, ainsi que les formules générales de 

 transformation pour passer du système rectiligne au système curviligne 

 orthogonal. 



» Il ne serait pas sans utilité de connaître les formules analogues dans 

 le cas où les coordonnées curvilignes se coupent sous un angle quelconque, 

 variable avec la position du point, puisqu'elles feraient connaître les pro- 

 priétés de chaque système, et les avantages qui lui seraient propres. Il m'a 

 paru avantageux de traiter cette question complètement pour les coordon- 

 nées planes quelconques, parce qu'elle pourra conduire à la solution du 

 cas où les courbes coordonnées sont tracées sur une courbe quelconque. 



» J'établis en premier lieu les formules générales de transformation 

 pour passer du système rectiligne orthogonal à un système curviligne quel- 

 conque. Je donne les variations des angles de tangentes et des normales 

 aux courbes coordonnées avec une droite fixe, les variations des courbures 

 des angles de contingence et des paramètres différentiels, ces variations étant 

 prises par rapport aux paramètres correspondants des courbes coordon- 

 nées. Ces formules sont susceptibles de prendre une forme régulière et sy- 

 métrique. 



» En second lieu, j'établis les propriétés d'un système quelconque de 

 coordonnées curvilignes. Je les déduis de cette proposition de géométrie 

 à laquelle j'arrive : La somme des variations des angles de contingence des 

 lignes coordonnées suivant leurs paramètres correspondants est égale à la 

 variation de l'angle de ces lignes prise successivement par rapport aux deux 

 paramètres. 



» J'introduis dans mes formules l'angle de deux tangentes à deux 

 courbes infiniment voisines de la même série. En appelant cet angle 

 angle de contingence oblique, dénomination à laquelle je suis conduit par la 

 théorie, je démontre ce double théorème. Dans un système quelconque 

 de coordonnées planes : i° la somme des variations des angles de contin- 

 gence oblique de deux courbes suivant leurs paramètres correspondants, 



