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 Si l'on élimine v entre (i) et (2), on trouvera 



il 2 2S , / S ^ C '\ 3 A 3 b%d> , (P J ~ *')fp' — c ')1 



p- a (* 2 + j 2 ) + ^ - — j x 3 - fx a [^ 2 - — + i£ a? ; j _ 0j 



qui est lequation d'un ellipsoïde de révolution dont le grand axe coïncide 

 avec l'axe des x. L'équation de la seconde surface de révolution s'obtient 

 sans difficulté ; elle est 



A 



± (F- 2 - * 2 ) [P- 2 - & -+- j^-j^ A 2 + « J^ ^J = o. 



L'équation de la troisième surface de révolution se déduit de cette der- 

 nière en changeant &, z, x, j en c, ar, y, z. 



» J'ai donné au dernier terme de ces équations une forme particulière 

 pour montrer l'identité de l'équation de la conique méridienne avec l'équa- 

 tion d'une conique rapportée à des sphères focales. En effet, si l'on appelle / 

 le rayon des sphères focales, ae la distance de leurs centres, ia la somme 

 des tangentes issues d'un point de l'ellipse à chacune de ces sphères focales, 

 l'équation qui exprime que la somme de ces distances est constante est la 

 suivante : 



a 2 y 2 + (a» - e 2 ) x 2 - a 2 [a 2 - e 2 - l 2 ) = o. 



Il est évident que les propriétés de chaque conique méridienne de ces trois 

 surfaces de révolution appartiennent à la surface de révolution qu'elle en- 

 gendre, et aussi aux courbes quelconques tracées sur cette surface, pourvu 

 que la rotation n'altère pas les grandeurs qui entrent dans ces propriétés. 

 Donc puisque la ligne de courbure, intersection des deux surfaces F(p),F(fA), 

 se trouve sur les surfaces de révolution dont nous avons démontré l'exis- 

 tence, il résulte que chaque ligne de courbure jouit des propriétés des trois 

 coniques dont les axes sont dirigés suivant les trois axes de l'ellipsoïde pro- 

 posé. Ces propriétés s'étendent non-seulement aux sphères focales, mais 

 aux foyers, aux plans directeurs, aux sphères directrices, etc. 



» Ces conclusions sont de toute évidence. Si, par exemple, on considère 

 la surface de révolution engendrée par l'ellipse de Cassini et l'intersection 

 de cette surface avec l'ellipsoïde proposé, la propriété dont jouira cette inter- 

 section, que le produit des deux distances d'un de ses points à deux points 

 fixes est constant, pourra paraître surprenante tant que l'on ne considérera 



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