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 dans les applications à une équation donnée, ces méthodes générales sont 

 le plus souvent impraticables en raison des opérations laborieuses qu'elles 

 exigent. C'est cette difficulté qui m'a longtemps arrêté pour former la 

 réduite du onzième degré de l'équation modulaire du douzième, la fonc- 

 tion des racines que j'ai employée pour effectuer l'abaissement conduisant 

 dans les trois cas du sixième, du huitième et du douzième degré à calculer 

 le discriminant de ces équations. J'ai donc essayé d'étudier en général le 

 discriminant des équations modulaires, en prenant pour point de départ 

 les expressions des racines sous forme transcendante, dans l'espérance d'ar- 

 river à un calcul qui pût être effectué au moins dans le cas que j'avais en 

 vue. J'y suis effectivement parvenu, et j'ai vu en même temps cette recherche 

 conduire, par une voie aussi simple que naturelle, à d'importantes notions 

 arithmétiques et à des propositions qu'on ne trouvera pas, j'espère, sans 

 intérêt, sur les sommes de nombres de classes de formes quadratiques, 

 dont les déterminants suivent une certaine loi. M. Kronecker a déjà donné 

 dans les Comptes rendus de l'Académie de Berlin (séance du 29 octobre 1857) 

 les énoncés de plusieurs beaux théorèmes de cette nature; ceux que je vais 

 établir dans cette Note et qui, si je ne me trompe, tiennent à d'autres prin- 

 cipes, contribueront, je pense, avec les propositions dues à cet illustre géo- 

 mètre, à jeter un nouveau jour sur une des plus importantes théories de 

 l'arithmétique, en la rattachant par de nouveaux liens à l'algèbre et à l'ana- 

 lyse transcendante. 



» I. Soit 11 un nombre premier et Q(v, u) = o l'équation modulaire de 



degré n+i; en faisant, pour abréger, s = ( - 1 > on trouve très-aisément 



que le produit des carrés des différences des racines v, prises deux à deux, 

 et que je désignerai par D, a la forme suivante : 



D = u" + ' (1 — u*)"-*- s {a + a K u* + fl 2 « l8 + -+ a»u Sv ), 



le polynôme a ■+- a,u* -)-... étant réciproque, c'est-à-dire que fl,= #,_,-, et 

 ne contenant ni le facteur u, ni le facteur 1 — ;/ 8 ; quant au nombre v, il 



a pour valeur v = — ^ (« + s). Cela posé, je vais en premier lieu 



établir que D est un carré parfait. Je me fonderai pour cela sur la relation 

 importante donnée par Jacobi, entre le multiplicateur M, le module pro- 

 posé et le module transformé, savoir : 



. M2 _ 1 >(i-V) M 



