cette relation, si l'on introduit u et v au lieu de y^ e t V'X, deviendra 



M 2 = — - "(' -" 8 )9(">") , 



72 tt(l «") S-(l>, u) 



D'ailleurs les valeurs correspondantes de v et M sont, comme on sait, 

 v sx «"[sincoam ip sin coam4p- • • sincoam(/z — i)p], 



R I • 



M , v— - — Tsincoam 2p sin coam4p- • • sin coam (« — 1) p~P 



^ ' sinam 2p sin am4p- • • sinam (n — i)p J 



de sorte qu'en faisant 



K iK' K + iK' (n — 1) K -+- i¥J 



— , . — , >••■] ) 



n n n n 



on obtiendra simultanément les n + 1 valeurs de M et les n +• 1 racines 

 v , f ,,..., v n de l'équation modulaire. Or les équations entre M et A: ont pour 

 coefficients des fonctions entières de A, celui de la plus haute puissance 



n — I 



de M étant l'unité, et le dernier la constante numérique ' > de 



manière que le multiplicateur ne peut jamais devenir nul ou infini pour 

 une valeur finie de k. Cette propriété importante, qui est due au P. Jou- 

 bert, montre que les valeurs de v et u, qui satisfont à l'équation modu- 

 laire et à sa dérivée d {v, u) = o, annulent nécessairement aussi le dénomi- 

 nateur de M, et par suite 3"(f, ?/), si l'on exclut les cas limites, u = o, 

 m 8 = 1, auxquels correspondent, comme on sait, v = o, c 8 = 1. Cette res- 

 triction faite, on peut conclure que toutes les autres solutions simultanées 

 des équations [v, u) = o, Q(v, u) = o sont doubles; elles annulent, en 

 effet, la déterminante fonctionnelle 



d® dô d® dQ , dd _ dô 



dv du du dv du dv 



car, à cause de l'équation = o, cette déterminante contient le facteur 



