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 3"(t>, u). C'est dire que tous les facteurs du discriminant, autres que u et 

 i — « 8 , y entrent au carré, d'où résulte que le polynôme a -+- a,u* -+-. 

 qui ne contient pas ces facteurs, et par suite le discriminant lui-même est un 

 carré parfait. A la vérité pourrait-on demander en toute rigueur de démon- 

 trer qu'il ne renferme pas de facteurs triples ou élevés à une puissance 

 impaire. Mais ce point sera lui-même complètement établi plus tard, à l'aide 

 d'une remarque que je dois encore placer ici. Multiplions membre à membre 

 les n + i équations qu'on déduit de la relation 



n u(i — « 8 )S-(«, u) 



en y remplaçant successivement v par toutes les racines de l'équation mo- 

 dulaire. Comme le produit des valeurs de M est ad -, on trouvera en em- 

 ployant, pour abréger, le signe de multiplication II, 



ït i xiv{\ — p*) nô(c, u) 



n' ~ n"-*-' «»+' (i— «»)»+' n&(p, «)' 



Mais on sait que 



Uv = £tt n+, , 



on en conclut (*) que 



II (i -v*)=z(i-u*)"+', 

 et il vient par conséquent 



n^,«) = ^ ne (,,«). 



Or, au signe près, Tl6(v, u) est le discriminant, et cette relation montre 

 qu'on peut le considérer comme provenant de l'élimination de y, entre les 

 équations 



8(t>, u)=o, 3r(v,u) = o, 



la seconde étant la dérivée — Cela posé, faisons le changement de cen u, 

 et de u en tv\ d'après une propriété fondamentale des équations modu- 

 laires, 9 ne changera pas, — = o deviendra par conséquent — = o, et le 



( *) Il suffit pour cela de poser u = <p («), puis de changer « en » etd'élever les deux mem- 



bres à la puissance huitième, les racines c , c,,..., étant ainsi devenues: Ci — *>\, V 1 — ç % etc - 



