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discriminant, lorsqu'on y aura mis ev au lieu de «, représentera le résultat 

 de l'élimination de u entre les équations © = o, — = o. Mais D ne conte- 

 nant que des puissances paires de u, ce changement reviendra à écrire 

 la lettre v au lieu de u, d'où cette conséquence que l'ensemble des valeurs 

 égales des racines P e , c,,..., v n , ne diffère pas de la série des valeurs de u 

 qui font acquérir à l'équation modulaire ces valeurs égales. 



» II. Après avoir établi que le discriminant est un carré parfait, ce qui 

 permet d'écrire désormais 



si l'on pose 



6 (m) = a -h a K u % -\- . . . + a»u>% v = — g » 



nous introduirons la transcendante dont j'ai donné ailleurs {Comptes rendus, 

 i858, p. 5i i) la définition et les propriétés fondamentales, en faisant 



« = ?(«), 



et c'est ainsi que nous parviendrons à représenter explicitement toutes les 

 racines du polynôme (u), en donnant pour chacune d'elles la valeur de w. 

 Le caractère principal de ces valeurs consiste en ce qu'elles sont l'une 

 des racines toujours imaginaires, celle où le coefficient de i(*)est positif, 

 d'équations du second degré à coefficients entiers, et que nous désignerons 

 de cette manière : 

 (a) Pu'+2Q« + R = o. 



Nous allons donner le moyen d'obtenir toutes ces équations en les dédui- 

 sant de certaines classes de formes quadratiques de déterminant négatif, 

 mais il est d'abord nécessaire, à l'égard de cette dépendance que nous éta- 

 blissons entre les équations et les classes, d'indiquer la proposition suivante : 

 » A toutes les classes qui ont même déterminant ou seulement à certains 

 ordres correspondront toujours, sauf deux exceptions dont il sera question 

 plus bas, soit deux groupes, soit six groupes de huit équations, telles, que 

 dans un même groupe toutes les équations se déduisent de l'une d'elles, en 

 y remplaçant u par u + 2 m, le nombre m étant pris suivant le module 8. 



(i) Peut-être n'est-il pas inutile, pour éviter toute ambiguïté, de dire que la quantité i dont 

 il est question est précisément celle qui figure dans l'expression analytique de <p(w) où elle 

 a été introduite en posant q = e >nu - 



