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 l'obscurité qui enveloppait cette grande énigme. Peut-être pourrons-nous 

 dire ci-après la nature des difficultés qui s'opposaient à l'intelligence des 

 énoncés de Pappus et au rétablissement des propositions d'Euclide. 



H. Recherches consignées dans Y Aperçu historique. — Rétablissement des Porismes que 

 comportent les énoncés de Pappus. — Caractère général de ces propositions. — Leur 

 analogie avec les théories qui forment les bases de la Géométrie moderne. 



» Ayant dû présenter une analyse de l'ouvrage de Pappus, surtout des 

 nombreux lemmes relatifs aux Porismes d'Euclide, dans l'aperçu historique, 

 où je traitais de l'origine et du développement des méthodes en Géométrie, j'ai 

 été conduit à m'occuper, après tant d'autres géomètres, de la question des 

 Porismes. L'intérêt du sujet m'a entraîné souvent dans des recherches plus 

 prolongées que je ne l'aurais voulu, excité par le désir de parvenir à porter 

 un jugement sur le travail de Simson, et même à donner suite, s'il m'était 

 possible, à cette divination qui paraissait comporter encore plusieurs ques- 

 tions essentielles, indépendamment du rétablissement de l'ouvrage lui- 

 même, comme je viens de le dire. 



» On avait remarqué dans les lemmes de Pappus certaines traces de la 

 théorie des transversales, telles que quelques propriétés relatives au rapport 

 harmonique de quatre points et une relation d'involution dans le quadri- 

 latère coupé par une droite (i). 



» Un nouvel examen de ces lemmes m'y a fait reconnaître une autre 

 proposition, plus humble en apparence peut-être, et qui, par cette raison 

 sans doute, avait échappé aux investigations antérieures, quoique en réalité 

 elle ait une plus grande importance que toutes les autres. Il s'agit, en effet, 

 de la propriété projective du rapport anharmonique de quatre points, qui se 

 trouve démontrée dans six lemmes différents (2), et dont, en outre, Pappus 

 fait usage pour la démonstration de plusieurs autres lemmes. 



» Ces circonstances, bien propres à fixer toute mon attention, pouvaient 

 m'autoriser à penser que les propositions d'Euclide étaient de celles aux- 

 quelles conduisent naturellement les développements et les applications de 

 la notion du rapport anharmonique devenue fondamentale dans la géométrie 

 moderne (3). 



(1) Poncf.let, Propriétés projectives des figures, p. xxxvi, xlii, 17, 83, 92. 



(2) Lemmes m, X, XI, XIV, XVI et XIX (Propositions 129, i36, 137, i/fo, 142 et »45). 

 — A perçu historique, p. 33. — Traité de Géométrie supérieure, p. xxi. 



(3) « Après avoir reconnu que la plupart des lemmes de Pappus qui paraissent £ rap- 



C. R., 185g, 1 er Semestre. (T. XLVIII, N° 25.) ! ^7 



