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 j'ai trouvé qu'en le désignant toujours par D, on avait 



D = « N (i — u 8 ) N '(a -+- a,u*-h a 2 u te -i- . ..-t-a,u 8 "), 



où N, N' et v sont des nombres entiers dont la détermination dépend des 

 fonctions numériques suivantes, qui s'offrent pour la première fois en ana- 

 lyse. 



» Soient & et c?' deux diviseurs de n tels, que l'on ait 



la première de ces fonctions sera la somme de toutes les quantités â 2 <f, et je 

 la désignerai ainsi : 



La seconde A'„ sera définie comme la précédente, mais en employant seule- 

 ment pour & et (?' les diviseurs de n qui satisfont à la condition 



(î)-(*)- 



Cela étant, si X et X' représentent la somme et le nombre des diviseur* 



de n, on aura 



N = /2X'— X -+- 2A„, 



N'=/lX'— X + aA'„, 



4v = x* — x — A„ — 4A|, . 



» Ces quantités auxquelles conduit immédiatement le discriminant de 

 l'équation modulaire montrent donc le premier emploi des fonctions A„, 

 A'„, qui, si on les prend complètes, c'est-à-dire en introduisant dans les 

 sommes tous les diviseurs de /i, seront de la nature des fonctions numé- 

 riques qui ont été récemment l'objet de travaux importants de M. Liouville. 

 Mais la limitation c? 2 <?'<« leur imprime un caractère spécial qui rappelle 

 dans la théorie des nombres la notion analytique de parties de jonctions. 

 Telle est encore cette expression de la somme des diviseurs de n, moindres 

 que \jn, dont M. Kronecker a montré le premier l'usage dans le beau tra- 

 vail que j'ai déjà cité. Et il semble jusqu'ici que ce soit dans l'évaluation 

 des sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les déter- 

 minants suivent certaines progressions du second ordre, que ces trois fonc- 

 tions se trouvent appelées à jouer leur principal rôle ; mais à cet égard 

 j'aurai surtout pour but de faire ressortir, dans le cas où n est premier, la 

 liaison qui existe entre le degré du discriminant et ces nombres de classes. 

 Pour cela, il est nécessaire que je démontre, comme je l'ai déjà annoncé, 

 que le discriminant ne contient pas de facteurs multiples autres que « et 

 t.— u*, : dont le degré de multiplicité soit supérieur à deux. 



