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» IV. Les valeurs de u par lesquelles les racines du discriminant, en 

 exceptant u = o, u* = i , ont été exprimées sous la forme 



K = <p(w), 



présentent ce caractère que deux quantités <p (u), <p (m'), sont essentiellement 

 différentes du moment que w et w' ne dépendent pas de la même équation ; 

 et il en résulte, en premier lieu, que les valeurs communes que prennent 

 respectivement deux racines de l'équation modulaire pour u = f{a) et 

 u = tp ( w') ne pourront non plus jamais être égales. Ce point établi, j'observe 

 ensuite que le déterminant Q a — PR de l'équation Pu 2 +2Qu + R = o 

 «tant résidu quadratique de n, la congruence P.r 2 -f- 2Q.r-l-R=o modrc 

 admet, si P n'est pas multiple du module, deux solutions réelles qu'il sera 

 toujours possible de représenter par des nombres multiples de 16 : 



x~[j., x~,\j!. 



Cela étant, les deux racines de l'équation modulaire, qui deviennent égales 

 lorsqu'on fait m = <j>(u), seront 



f M « f^)- 



Et dans le cas où l'on suppose P = o modrc, la congruence n'admettant 

 plus qu'une solution x^p., on aurait l'égalité 



»(=?Hï)'<->- 



Mais on peut toujours faire en sorte d'exclure l'un des cas, de rester dans 

 le premier, par exemple, en tirant l'équation en u d'une forme quadra- 

 tique (P, Q, R) où P ne soit pas divisible par n. Cela posé, l'équation mo- 

 dulaire ne saurait présenter non plus, quand on y fait u = ç(w), une troi- 

 sième racine <p ( — j égale aux précédentes; car fi" devrait nécessairement 



vérifier, ainsi que (j. et ju,', la congruence P.r 2 + iQx -+- R = o modrc, ce 

 qui est impossible lorsqu'on suppose le module un nombre premier. Or, 

 ayant démontré que les racines du discriminant ne différaient pas de l'en- 

 semble des valeurs égales des racines v , v u . . ., v n , de l'équation modu- 

 laire, nous concluons qu'il n'existe pas de facteurs triples dans le discri- 

 minant précisément de ce que trois des quantités v , *>,, . . . , v n , ne peuvent 

 jamais coïncider pour aucune valeur finie de w. Ayant donc fait 



D = « n+, (i-M 8 ) n + 8 Ô ! '(a), 



xious pouvons regarder comme inégales toutes les racines de l'équation 



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