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(«) = o; et c'est la proposition que nous voulions établir afin d'arriver à 

 celle-ci : Pour tout nombre premier n, la somme des nombres d'équations déduites 

 des classes quadratiques de la première série de déterminants — A, et de la seconde 

 série de déterminants — A', est égale au degré du polynôme Q(u). Mais en con- 

 sidérant, pour plus de simplicité, les seules équations qui fournissent des 

 valeurs distinctes deip 8 (w), nous pouvons remplacer cet énoncé parle 

 suivant : 



» Soient <j { et <j 2 les nombres de classes de la première série auxquelles corres- 

 pondent deux ou six équations, a\ et cr' 2 les quantités analogues dans la seconde 

 série, on aura en tenant compte des classes dérivées de (i, o, i) et (a, i, a), la 

 relation 



2 ((7,+ <7 t ) + 6(<7 2 + <7 2 ) = V = —g - 



» Tel est donc le théorème, essentiellement limité jusqu'ici au cas où n 

 est premier, que nous allons vérifier par un certain nombre d'exemples, en 

 donnant pour chacun d'eux la série des équations en m, ce qui va nous 

 conduire en même temps à présenter des applications des diverses règles 

 énoncées précédemment pour la formation de ces équations. 



» V. A cet effet, j'emploierai pour abréger la notation suivante. (A, B, C) 

 étant une forme quelconque, je poserai 



(C, -B, A) =(A,B,C),, (A, -A + B,A-aB + C) =(A,B,C) 2 . 

 Il deviendra possible ainsi de rattacher immédiatement les équations aux 

 formes réduites, par lesquelles il convient d'autant mieux de représenter 

 les classes, qu'on obtiendra de la sorte les coefficients les plus simples et les 

 valeurs de m pour lesquelles les séries elliptiques présentent la plus grande 

 convergence. Effectivement, si l'on se borne aux équations qui fournissent 

 des valeurs distinctes de y 8 (w), ou même à la seide équation type (voyez 

 Comptes rendus, p. 946), elle sera toujours l'une de celles-ci : 



(A, B,C)=o, (A,B,C), = o, (A,B,C) 3 = o, 



les indéterminées x et y étant remplacées par u et 1, et (A, B, C) étant une 

 forme réduite. Je conviendrai enfin de les désigner seulement par leurs 

 premiers membres et de représenter respectivement par I et 2' pour la pre- 

 mière et la seconde série de déterminants, les sommes de nombres d'équa- 

 tions donnant des valeurs distinctes pour ç> 8 (w), de sorte que la relation 

 que nous nous proposons de vérifier sera 



v , v , «' — I n + s 



I + 2 = v= —^ — -• 



o 2 



