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 auxquelles j'ai été naturellement amené par les recherches précédentes, et 

 qui serviront de complément aux théorèmes fondamentaux déjà donnés sili- 

 ce sujet par M. Kronecker. 



» Voici d'abord un choix particulier dont je conviendrai pour les formes 

 destinées à représenter les diverses classes quadratiques qui appartiennent 

 au même déterminant. En désignant ces formes par (A,B, C) et faisant 

 A = AC — B a , je supposerai, ce qui est toujours possible, que C soit pair et 

 A impair, de sorte que dans le groupe proprement primitif (*) on aura, 

 suivant que 



A = i mod 4 , B et - C impairs ; 



A = 2mod4, B pair et -C impair; 



A = — i mod 4 , B impair et C multiple de 4. 



» En second lieu, et pour ce qui concerne le groupe improprement pri- 

 mitif, il ne sera posé aucune condition lorsque A = 3 mod 8; mais dans le 

 cas de A = — 1 mod 8, nous prendrons Ç impairement pair. Les formes 

 ainsi choisies, et que nous garderons désormais pour représenter les classes, 

 jouissent de cette propriété de conserver les mêmes caractères dans toutes 

 leurs transformées par des substitutions au déterminant un, x = aX + |3Y, 

 jr=yX-h c?Y, où |3 est pair, a. et c? impairs. Cela posé, si l'on détermine w 

 en faisant Aw 2 -t- 2Bu + C = o, (A,B,C) représentant successivement toutes 

 les classes du groupe proprement primitif et de même déterminant — A, les 

 diverses quantités x = <p 8 (w) seront racines d'une équation qui sera réci- 

 proque, dont le degré sera double du nombre des classes et dont les coeffi- 

 cients seront entiers, en supposant celui de la puissance la plus élevée i\e x 

 égal à l'unité. 



» En second lieu, et à l'égard du groupe improprement primitif, on ob- 

 tiendra comme précédemment une équation réciproque dont le degré sera 

 encore le double du nombre des classes, mais avec une puissance de a pour 

 coefficient du premier terme lorsque A = — 1 mod 8. Enfin si l'on suppose 

 A = 3 mod 8, le degré sera six fois le nombre des classes, et tous les coeffi- 

 cients entiers, celui du premier terme étant l'unité. 



» Voici maintenant la méthode par laquelle on peut obtenir ces équations 

 dans tous les cas. 



(*) Comptes rendus, p. 947. 



