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 » VII. Convenons, pour mettre en évidence le déterminant des formes 

 quadratiques dont elles dépendent principalement, de les désigner par 



F, (x, A) = o lorsque A=i mod 4 , 

 F a (ar, A) = o lorsque A = 2 mod 4 , 



le groupe proprement primitif existant seul pour ces deux déterminants. 

 Dans les cas suivants, ce sont les équations qui répondent aux formes du 

 groupe improprement primitif qu'il convient de considérer, et nous les dé- 

 signerons par 



^,(x, A) = o lorsque A = 3 mod 8, 

 ^ s (x,A) = o lorsque A = — i mod 8. 



Cela posé, soit Q(v, u) = o l'équation modulaire pour la tranformation qui 

 se rapporte à un nombre impair n quelconque. En joignant à cette équation 

 celles-ci : 



i°. ir = — — ir = x, 



v' -+- 1 



« "' — • « 

 a°. u — ; ir — x, 



3°. « 8 = — —. u* = x, 



i — p* 



A°. u = — — u*=i — x, 



on en déduira quatre équations en x, dont les premiers membres présen- 

 teront cette propriété remarquable d'être le produit de facteurs qui seront 

 respectivement de la forme : 



i°. F, (x, A) j [ in — i, m — 9, 2« — 25,..., 



a°, F 2 (x,A) f J m, m — 4, m — 16, ..., 



. ) A ayant les valeurs { , 



3°. 5, (x, A) l ' j 4» — i, 4" — 9? 4" — a5,..., 



4°. x et # 2 (x, A) ) ( 8« — i, 8n — 9, 8/i — a5, 



Il en résulte que les polynômes F, («, A), F a [x, A), ^(.r, A), $ 2 (x, A), 

 s'obtiennent en déterminant le plus grand commun diviseur entre les pre- 

 miers membres de deux des équations que nous venons de considérer, et ré- 



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