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 rapportent aux déterminants multiples d'une puissance de 4- Mais ici il 

 convient de distinguer ceux qui sont le quadruple d'un nombre impair de 

 ceux qui sont multiples de 8. C'est aux premiers que s'applique spéciale- 

 ment la méthode qui vient d'être indiquée; et dorénavant les équations qui 

 leur correspondent seront désignées par F 3 (x, A) = o. En représentant par 

 F 4 (o", A) = o celles qui concernent les déterminants multiples de 8, on a 

 en effet cette proposition que le premier membre de l'équation en x qui 

 résulte du système 



®(v, u) = o, u'=- > u* — x, 



analogue à ceux qui ont été considérés tout à l'heure, est le produit de fac- 

 teurs de la forme F 4 (j?, A), A prenant la suite des valeurs [\(n — i), 

 4(n — 9), 4 [n — a5\ etc. Je n'insiste pas en ce moment sur les consé- 

 quences à déduire de là, non plus que sur beaucoup de questions impor- 

 tantes pour la théorie des formes quadratiques auxquelles conduisent les 

 résultats précédents (*), et je me bornerai à remarquer que des propositions 

 énoncées sur les réunions d'ordres nommées groupes proprement et. impro- 

 prement primitifs, on conclut immédiatement les suivantes : 



» Ayant représenté le système des classes de l'ordre proprement primitif pour 

 un déterminant quelconque par des formes ( A , B, C ), oit C est pair, A impair, les 

 quantités <p 8 (w), en définissant w par tes relations Am 2 + 2Bwh-C = o, sont 

 racines d'une équation réciproque à coefficients entiers dont le degré est précisé- 

 ment double du nombre des classes. 



» Et de même, si l'on représente les classes de i ordre improprement primitif 

 de déterminant A S3 — 1 mod 8 par des formes (A, B,C), où C est impaîrement 

 pair, on obtiendra une équation réciproque dont le degré sera encore double du 

 nombre des classes. 



» Mais pour l'ordre improprement primitij de déterminant = 3 mod 8, le 

 degré est six fois le nombre des classes. 



» On peut enfin supposer égal à l'unité le coefficient du premier terme dans 

 ces équations, sauf pour celles qui répondent à l'ordre improprement primitif, 

 où il est une puissance de 1 lorsque A = — 1 mod 8. 



» VIII. La principale propriété du polynôme £, (x, A) consiste en ce 



(*) En particulier pour les sommations analogues à celles qui ont été données pour la pre- 

 mière fois par M.Kronecker. 



