( I 1 oo ) 



qu'il se décompose en facteurs du sixième degré de celte forme remarquable 



[x 2 — a? + i) s + a (x 2 — .r) 2 , 



de sorte que la substitution j- = v . ; _ — -+- ramène l'équation $ K (x, A) = o 



à un degré précisément égal au nombre des classes improprement primi- 

 tives de déterminant — A. Cela résulte de ce qu'on peut réunir les racines 



en groupes , où elles sont représentées par l'expression f* ( - — -^ ) > 



a, b, c, d étant des nombres entiers quelconques, tels que ad — bc= i. 

 Or en faisant y 8 (w) = p, cette expression représente les six valeurs distinctes 



i i p p — i 



r7 p r ' I— ? p — I p 



et telles seront les racines de l'équation [x 2 — x ■+ i) 3 -f- a (a? 2 — o:) 2 = o, 

 car on vérifie immédiatement qu'elle reste la même quand on y remplacer 



par -> i — x, et dès lors par les substitutions composées de celles-là, savoir 



X 

 I X 



x x. — i 



D'ailleurs p étant seul arbitraire, cette équation, qui 



contient une indéterminée a, aura bien la forme analytique la plus géné- 

 rale. Elle se présente au reste d'elle-même, en recherchant dans les cas les 

 plus simples le polynôme #, (a?, A). Partons, par exemple, des équations 

 modulaires pour n = 3 et n = 5, auxquelles on doit joindre, d'après ce qui 



a été dit : u* = x = :• Parmi les diverses formes dont elles sont suscep- 



tibles, je choisirai celles que Jacobi obtient en faisant q = i — 2 A 2 , 

 l=i — 2X 2 , savoir : 



(?-/)* = 64 (1 - <? 2 ) (1 - Z 2 ) (3 + 9 Z), 

 ( î -Z)« = 2 56(i- î 2 )( 1 -Z 2 )[,6 7 Z( 9 - 9 Z) 2 + 9(45- 7 /)( ? -/) 2 ]. 



En effet, ces quantités s'obtiennent immédiatement en .r, et en substituant 

 les valeurs 



x ■+■ I 



? 



q = 1 — ix, Z = 

 d'où 



, X* — X -f- I 



q — 1 = a > 



1 I X 



la première équation donne 



(x 2 -x + i)[(x 2 -x + i) 3 + 2 7 (;c 2 -.r) 2 ] = o, 



