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» 5. Dans ce réseau de triangles, dont chacun fait uue face du polyèdre, 

 comme chaque triangle est lié à un autre contigu par le côté qui leur est 

 commun, on voit que des triangles pris au hasard ne sont pas propres à 

 former un polyèdre par leur assemblage. Car si vous prenez un premier 

 triangle à volonté, il en faut déjà trois autres dont chacun puisse s'iuiir avec 

 lui par un côté commun : etc. * '^. > 



» 4. Le côté commun à deux faces consécutives forme ce qu'on appelle 

 inie arête du polyèdre. 



» Chaque arête appartient donc à deux faces et n'appartient qu'à deux. 



» 5. Les divers points où se réunissent les extrémités de plusieurs arêtes 

 sont les sommets du polyèdre. 



» C'est autour de ces sommets que les angles des faces s'assemblent pour 

 former les angles solides; et comme il faut toujours au moins trois angles 

 plans pour faire un angle solide, il n'y a pas de sommet d'où ne partent au 

 moins trois arêtes. 



» 6. Si l'on fait le compte de toutes les faces du polyèdre, on en conclut 

 aisément le nombre de toutes les arêtes ; car chaque face contient trois 

 arêtes, mais comme chaque arête appartient à deux faces, si l'on comptait 

 trois arêtes pour chaque face, la même arête se trouverait comptée deux 

 fois ; donc si l'on nomme H le nombre des faces, et A celui des arêtes, on 

 aura l'égalité 



3H=aA. (i) 



• 7. De plus, si l'on nomme S le nombre des sommets, et qu'on le com- 

 pare à celui des faces, on découvre entre ces deux nombres la relation sui- 

 vante : 



aS-H = 4- (2) 



» Et en effet, du polyèdre proposé ôtez un sommet avec les // faces 

 triangulaires qui s'y rassemblent ; et dans le multilatère (plan ou gauche), 

 que forment les bases de ces h triangles, menez à partir de l'un quelconque 

 de ses sommets, les A — 3 diagonales qui le partagent en h — 7. triangles, il 

 vous restera un polyèdre à faces triangulaires qui aura un sommet de moins, 

 et deux faces de moins que le proposé : car d'un côté vous aurez supprimé 

 h faces, et de l'autre vous en aurez ajouté h — 1. Donc, puisqu'en ôtant un 

 sommet vous ôtez deux faces, il y a toujours dans un polyèdre quelcon- 

 que, entre les deux nombres 2 S et II, la même différence qu'entre les nom- 

 bres correspondants dans le polyèdre dérivé qui a un sommet de moins; et 

 par conséquent en descendant de proche en proche, il y a la même différence 



