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 que dans le simple tétraèdre. Or ici on a 



8 = 4, H = 4 et 2S-H = 4, 



ce qui démontre l'équation ( 2 ). 



» 8. De ces deux équations (i) et {1), on peut tirer ces deux-ci : 



A = 3S-6, {a) 



S + H = A + 2, {!?) 



équations que l'on pourrait aussi démontrer d'une manière directe, comme 

 on l'a fait pour les précédentes. 



B 9. Les équations (i), (a), et la suivante [a), ne conviennent qu'aux 

 polyèdres à faces triangulaires ; mais la quatrième (b) 



S + H=A-<-2, 



convient aux polyèdres à faces quelconques : car, en supposant que deux 

 ou plusieurs faces triangulaires consécutives viennent à se réunir en une 

 seule quadrangulaire ou polygonale, on comptera d'un côté une ou plusieurs 

 faces de moins, et de l'autre côté autant d'arêtes de moins, et l'équation 

 précédente ne sera point troublée. 



» On remarquera ici que cette équation (6), qu'Euler a démontrée le 

 premier, n'a pas seulement lieu pour les polyèdres convexes, comme on 

 paraît le croire, mais pour des polyèdres d'une espèce quelconque. 



Des polyèdres dont tous les angles solides sont d'un même degré q de 



multiplicité. 



» 10. Dans un polyèdre de cette nature, on suppose donc qu'il y a le 

 même nombre q d'arêtes aboutissant à chaque sommet ; mais si l'on comp- 

 tait autant de fois q arêtes qu'il y a de sommets, comme chaque arête appar- 

 tient à deux sommets, chaque arête se trouverait comptée deux fois : donc 

 le nombre qS est double de celui des arêtes, et l'on a nécessaireme.Dt 



yS=aA=6S — la, 

 d'où l'on tire 



S- ■' • ' 



q ne peut être au-dessous de 3; faisant donc ç = 3, on trouve S = 4; faisant 

 ensuite 9 = 4i on trouve S = 6; faisant ensuite q = 5, on trouve S = 12. 

 » 11. Il n'y a donc qu'un seul polyèdre à faces triangulaires qui puisse 

 avoir tous ses angles solides triples; c'est le tétraèdre. 



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