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» Il n'y en a qu'un seul qui puisse avoir tous ses angles quadruples ; c'est 

 ïoctaèdre. 



» Et enfin un seul qui puisse avoir tous ses angles quintuples; c'est 

 Vicosaèdre. 



» 12. Si l'on fait q = 6, on trouve S infini; et y > 6 donne S négatif, 

 ce qui ne peut plus répondre à aucun polyèdre. 



» Il ne peut donc y avoir aucun polyèdre qui ait tous ses angles sextuples ; 

 et encore moins tous ses angles septuples, etc. 



» 13. On peut démontrer encore que dans tout polyèdre à faces triangu- 

 laires, il se trouvera toujours au moins un angle solide qui sera ou triple, 

 ou quadruple, ou quintuple. Il serait impossible qu'il n'y eût pas dans le 

 polyèdre quelque angle solide de l'un ou l'autre de ces degrés de multi- 

 plicité. Car soit, s'il est possible, un polyèdre qui n'ait que des angles solides 

 d'un degré supérieur à 5. Soit i le nombre des angles sextuples, / celui des 

 septuples, « celui des octuples, etc. On aurait 



6/-i-7/-l-8M-H... = aA=6S — la; 



d'où, à cause de 



t-f-/-f- tt -4- ... = S, 

 on tirerait 



j -h 2U -t- ... = — 12, 



ce qui est impossible, puisque n, y, etc., sont des nombres essentiellement 

 positifs. 



» 14. Tout ce qu'on vient de dire sert à bien préciser la définition d'un 

 polyèdre à faces triangulaires. Ce qu'on entend par un tel polyèdre n'est donc 

 qu'une chaîne continue et fermée d'un certain nombre de triangles dont 

 chacun se lie à un autre par un côté commun : chaque côté ou arête n'appar- 

 tient qu'à deux de ces triangles auxquels on donne le nom de faces: de ma- 

 nière que si, dans cette figure, formée par toutes les ;irêtes, on trouvait plus 

 de deux triangles appuyés sur une même arête, il n'y aurait que deux de 

 ces triangles comptés au nombre des faces du solide; les autres n'en feraieut 

 point partie. 



» De cette manière, S désignant le nombre des sommets, il y a précisément 

 3 S — 6 arêtes et a S — li. faces, ni plus ni moins. 



» 15. A chaque sommet appartient un angle solide formé par les angles 

 plans des faces triangulaires qui s'y rassemblent. 



» L'angle que deux faces consécutives fout ensemble autour de la com- 



