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 polyèdres, il y a toujours au moins une espèce où le polyèdre soit ce que je 

 nommerai simple ou primitif, je veux dire tel qu'il ne puisse pas être vu 

 comme s'il était formé par la réunion de plusieurs polyèdres d'ordres infé- 

 rieurs qu'on aurait juxtaposés par quelques faces communes. 



» On a vu que le tétraèdre est simple, puisqu'il n'existe pas de polyèdre 

 d'un ordre inférieur à quatre; et il est clair aussi que ce tétraèdre est unique, 

 puisqu'il n'y a évidemment qu'une manière d'enchaîner quatre points par 

 quatre triangles, ou par six arêtes, lesquelles forment toutes les distances 

 mutuelles possibles de ces quatre points. 



» 21. L'hexaèdre. — Mais Y hexaèdre, qui a 5 sommets et 9 arêtes, n'est 

 pas un polyèdre simple; car il est évident que, de quelque manière qu'on 

 s'y prenne pour lier cinq points par six triangles, on ne trouvera jamais 

 qu'une figure formée par la réunion de deux tétraèdres appuyés l'un sur 

 l'autre par une face commune. Il n'y a donc point de figure polyédrale à 

 cinq sommets qu'on puisse regarder comme simple ou primitive; il n'y a 

 point de véritable hexaèdre primitif à faces triangulaires. 



» 22. L'octaèdre. — Passons à l'ocfaèdre ou polyèdre à 6 sommets. Un véri- 

 table octaèdre simple ne doit avoir aucun de ses angles solides triple, sans 

 quoi ce ne serait point un polyèdre simple, mais la réunion d'un tétraèdre 

 et d'un hexaèdre joints ensemble par une base commune. Chacun des an- 

 gles solides doit donc être au moins quadruple; mais alors tous sont qua- 

 druples, car en les supposant tels, on trouve déjà 12 pour le nombre de 

 toutes les arêtes, ce qui fait le nombre exact des arêtes de tout octaèdre 

 possible. 



» Il y a donc un octaèdre simple ou primitif, et cet octaèdre simple, qui a 

 tous ses angles quadruples, est unique. 



B 23. Le décaèdre. — Considérons maintenant le polyèdre à 7 sommets, 

 10 faces et 1 5 arêtes ; c'est le décaèdre; et voyons s'il y en a de primitifs. 



1» Ecartant toujours le cas des angles triples, ce qui ferait rentrer le 

 polyèdre dans un corps composé, le solide simple dont il s'agit ne peut 

 avoir que des angles quadruples, quintuples et sextuples. Or il est impos- 

 sible qu'il y ait aucun angle solide sextuple. Car soit M cet angle solide où se 

 réuniraient six faces triangulaires, et considérez l'hexagone ABCDEG formé 

 par les six bases de ces triangles; il faudrait que sur le côté AB, par exemple, 

 où s'appuie la fiice MAB, il se trouvât encore un autre triangle appuyé M'AB, 

 pour former avec le premier les deux faces triangulaires dont la commune 

 arête est AB. Or le sommet M' de ce second triangle ne peut plus tomber que 

 sur un des sommets restants C, D, E, G de l'hexagone; soit par exemple E 



