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 ce sommet, de sorte que EAB forme avec MAB les deux faces appuyées sur la 

 même arête AB; on verrait le tétraèdre MABE, et par conséquent le décaèdre 

 serait composé, ce qui est contre l'hypothèse. Il est donc impossible que 

 dans le décaèdre simple ou primitif il y ait aucun angle solide sextuple. 



B Restent donc seulement les quadruples avec les quintuples, puisque les 

 angles triples sont écartés. 



» Or soit i le nombre des quadruples et j celui des quintuples. En faisant 

 le compte des arêtes autour de chaque sommet, on trouvera 4^-1- 5/ qui 

 fera le double de ces arêtes, et par conséquent ici le nombre 3o; ainsi l'on 

 aura 



4 i + 5/ = 3o 



et 



1 + 1 = -], 



d'où l'on tire 



/ = 5 et / = 1. 



» Le décaèdre primitif, s'il est possible, a donc nécessairement a angles 

 quintuples et 5 quadruples ; or ce solide existe réellement, et peut sur-le- 

 champ se construire. Car d'un sommet quelconque menez des arêtes à cinq 

 quelconques des six autres sommets, ce qui donne d'abord une pyramide 

 terminée par un contour pentagonal ; et ensuite du sommet qui n'a pas 

 encore été employé, menez les cinq arêtes aux angles de ce pentagone, et 

 vous aurez évidemment un décaèdre à a angles quintuples et 5 quadruples. 



» Vous voyez d'ailleurs que sur les mêmes 7 sommets vous pouvez con- 

 struire autant de décaèdres de la même nature qu'il y a de manières de 

 prendre 7 points deux à deux. Mais à ne considérer que le degré des angles 

 solides, cela ne fait au fond qu'une seule espèce de décaèdre primitif, car 

 ils ont tous a angles solides quintuples et 5 angles quadruples. 



» 24. Le dodécaèdre. — Venons maintenant au dodécaèdre ou polyèdre 

 à la faces, 8 sommets et 18 arêtes, et voyons quels sont les dodécaèdres 

 primitifs. 



» On démontre d'abord, comme plus haut, que le dodécaèdre primitif ne 

 peut avoir d'angle solide septuple. Reste donc le cas des angles quadruples, 

 quintuples et sextuples. Soient /, j et u les nombres respectifs de ces angles des 

 degrés 4, 5 et 6. On aura d'abord 



i + / + « = 8 

 et. 



4 / + 5y + 6 «< = 2 A = 36 ; 



C. R., i858, i" Semestre. (T. XLVljNoï.) H) 



