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 d'où, en chassant /, par exemple, il viendra l'équation 



a M 4- y = 4 • 



Soit, s'il est possible, u ^= i, il vient / = 2 et i = 5, c'est-à-dire que le do- 

 •décaèdre aurait pour les angles solides, 



r sextuple, a quintuples et 5 quadruples. 



D Soit donc M l'angle solide sextuple avec les 6 faces triangulaires qui s y 

 rassemblent, et considérez un côté AB de l'hexagone (plan ou gauche) formé 

 par les six bases de ces triangles. Vous avez d'abord sur AB la face ABM; 

 or il en faut tuie seconde ABM' sur la même arête AB ; mais le sommet M' ne 

 peut être placé sur aucun des quatre sommets restants C,D, E,F de l'hexa- 

 gone sans introduire dans la figure un tétraèdre, ce qui rendrait le polyèdre 

 composé. Il faut donc que la face ABM' ait son sommet M' placé sur le der- 

 nier sommet H du dodécaèdre. Or il en serait de même des secondes faces 

 qui doivent s'appuyer sur les autres côtés BC, CD, DE, EF, FA de l'hexa- 

 gone : donc l'angle solide en H doit être aussi sextuple, aussi bien que 

 l'angle solide en M. On' ne peut donc supposer dans le dodécaèdre primitif 

 un seul angle solide sextuple, et il y en a toujours au moins deux. Faisons 

 donc M = a, ce qui donne/ égal à zéro et / = 6, et l'on aura un dodécaèdre 

 primitif k i angles solides sextuples et 6 angles quadruples, dodécaèdre qui existe 

 réellement et dont la constiuctioa est évidente. 



» II n'y en a pas d'autres primitifs avec des amples sextuples, car en fai- 

 sant M plus grand que a, il vient f négatif, ce qui est absurde. 



» Mais il peut y avoir un dodécaèdre primitif a.\cc des angles quadruples 

 et quintuples seulement, c'est-à-dire sans angles sextuples; car en faisant 



M = o, 

 il vient 



/ = 4 et / — 4. 



Ainsi le dodécaèdre primitif, s'il existe, a 4 angles solides quintuples et 4 

 quadruples. Or ce solide existe réellement, et la construction en est très- 

 facile. 



» Car partagez les huit sommets en deux groupes de quatre, et soient 

 A, B, C, D les sommets qui font le premier groupe, et A', B', C, D' ceux 

 qui forment le second; prenez les deux quadrilatères ABCD et A'B'C'D', 

 et joignez chacun à chacun les sommets correspondants A et A', B et B', 

 G et C, D et D'; vous aurez d'abord une figure terminée par six quadri- 

 latères (plans ou gauches), et dont les six faces d'un cube vous offrent une 



