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 >• Voilà les dix solutions des deux équations indéterminées 



i-+-j-+-u-ht-\-v= I o, 

 4n- 5/ + 6m -+- 7< -4- 8v = 48, 



et où l'on ne peut admettre pour /, y, «, etc., que des nombres entiers 

 tous positifs. 



» Ces dix solutions répondent-elles à autant de décahexaèdres simples 

 ou primitifs? C'est ce qu'on ne peut guère voir qu'en essayant de construire 

 ces solides. 



j> Le premier décahexaèdre ayant 2 angles solides octuples avec 8 qua- 

 druples est presque évident, car il est est clair qu'on peut le former tout de 

 suite avec une pyramide à base octogonale (plane ou gaucbe), et une autie 

 pyramide appuyée sur la même base, système d'où résulte un décahexaèdre 

 à a angles solides octuples et 8 quadruples, et qui est évidemment simple ou 

 primitif. 



n Le a* est également primitif Mais le 3*, qui offre a angles septuples, 



1 sextuple et 7 quadruples , ne paraît pas possible. On peut bien, entre les 

 10 souuuets donnés, placer a4 droites ou arêtes de manière qu'il y ait 



2 sommets où l'on voie aboutir 7 de ces arêtes, i sommet où l'on en voie 

 aboutir 6, et enfin 7 sommets où l'on en voie aboutir 4 ; 'nais ce système 

 d'arêtes ne donne pas lieu à un système de triangles qui puissent former 

 les /aces d'un véritable polyèdre. Il y a tel sommet d'où partent 4 arêtes, 

 et autour duquel il n'y a pourtant point 4 faces rassemblées pour y former 

 l'angle solide; ou, en d'autres termes, les extrémités de ces quatre arêtes ne 

 vont point tomber sur quatre autres sommets de la figure qui soient déjà 

 unis ensemble par quatre droites formant le contour d'un quadrilatère 

 fermé, ce qui serait nécessaire pour que l'on put compter autour du 

 sommet dont il s'agit, quatre triangles formant les faces d'un angle solide 

 quadruple. 



r> I^e 4* décahexaèdre qui présente 



1 angle septuple, 1 sextuples, i quintuple, 6 quadruples, 



n'est pas non plus un polyèdre primitif: car vous y voyez la réunion d'un 

 octaèdre avec un décaèdre appuyés l'un -sur l'autre par la commune base 

 triangulaire. 



• Le 5° est un polyèdre primitif, et il en est de même pour les suivants, 

 ce qui réduit à 8 le nombre des décahexaèdres primitifs. 



■.Mais il y a une remarque à faire sur cette théorie des polyèdres pri- 

 mitifs. 



