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 » Nous avons dit que le a* décahexaèdre qui nous présente pour ses angles 

 solides, 



2 septuples, a quintuples et 6 quadruples, 



était primitif, ce qu'il est facile de constater; mais d'un autre coté vous 

 pouvez construire un décahexaèdre qni a aussi i angles septuples, a quin- 

 tuples et 6 quadruples, et qui pourtant n'est pas un solide simple on pri- 

 mitif ; car il est aisé de voir que c'est un polyèdre composé d'un octaèdre 

 et d'un décaèdre appuyés l'un sur l'autre par une face commune. Etc. Etc. 

 » 27. Je me borne ici à ces premiers cas simples, pour indiquer seule- 

 ment les questions auxquelles pourrait donner lieu l'étude de ces polyè- 

 dres que j'appelle primitifs. » 



GÉOMÉTillE. — Note sur la théorie des polyèdres réguliers ■ 

 par M. J. Bertrand. 



« Puisque l'attention de l'Académie est appelée sur la théorie très-intéres- 

 sante des polyèdres, je saisirai cette occasion pour annoncer que M. Gour- 

 jon, dont les physiciens connaissent l'habileté et l'esprit ingénieux, a bien 

 voulu construire à ma prière les polyèdres réguliers étoiles décrits dans le 

 tome II des Mémoires des Savants étrangers. Ces solides existaient, il est vrai, 

 déjà chez M. Poinsot qui les a découverts; mais, malgré la bienveillance 

 avec laquelle l'illustre géomètre accueillait ceux qui désiraient les étudier, 

 ces modèles n'étaient pas à la disposition du public : les solides construits 

 par M. Gourjon y seront entièrement, car ils appartiennent maintenant au 

 Collège de France. On sait que les quatre solides de M. Poinsot sont, avec 

 les cinq polyèdres réguliers anciennement connus, les seuls corps réguliers 

 dont l'existence soit possible. M. Cauchy l'a prouvé dans un Mémoire pré- 

 senté à l'Académie en 1812. Mais sa démonstration, quoique rigoureuse, 

 exige une grande attention et ne peut être suivie qu'en s'astreignant à véri- 

 fier toutes ses assertions sur les modèles en relief du dodécaèdre et de l'ico- 

 saèdre réguliers de première espèce. Je proposerai une démonstration qui 

 me semble plus facile. 



» Lemme I. — Des points quelconques étant donnés dans l'espace, on 

 peut toujours trouver un polyèdre convexe dont les sommets soient pris 

 parmi les points donnés, et qui contienne tous les autres points dans son 

 intérieur. Nous ne développerons pas la démonstration de ce lemme, qui est 

 presque évident. 



