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» Lemme IL — Il ne peut pas exister de polyèdre convexe dont chaque 

 sommet soit la réunion de plus de cinq faces. 



» Cette proposition, corollaire facile du célèbre théorème d'Euler, est 

 connue depuis longtemps. 



» Théorème I. — Un polyèdre régulier, de quelque espèce qu'il soit, a 

 nécessairement les mêmes sommets qu'un polyèdre régulier convexe. 



» Les sommets d'un polyèdre régnlier sont, on le sait, situés sur une 

 même sphère, et tout polyèdre convexe dont les sommets seront pris parmi 

 ces points ne pourra par conséquent pas renfermer les autres dans son inté- 

 rieur; on en conclut, en vertu du lemme I, qu'il existe un polyèdre convexe 

 qui a pour sommets tous les sommets du polyèdre régulier considéré. 



» Il reste à prouver que ce polyèdre est régulier. Pour y parvenir, consi- 

 dérons deux figures P et Q égales entre elles et formées chacune par le 

 polyèdre régujier considéré et par le polyèdre convexe qui a les mêmes 

 sommets ; non-seulement P sera, comme on le suppose, superposable à Q, 

 mais la coïncidence pourra être établie en plaçant un sommet arbitraire de 

 Q sur un sommet désigné de P. De plus, deux sommets étant l'un sur l'autre, 

 la coïncidence des deux polyèdres réguliers qui font partie de P et de Q, et 

 par suite celle des figures totales, pourra se faire de trois manières au moins, 

 car aux sommets considérés aboutissent au moins trois faces des polyèdres 

 réguliers, et la coïncidence peut être établie en posant sur l'une des faces 

 du premier l'une quelconque des faces de l'autre. Les deux angles solides de 

 nos polyèdres convexes sont donc non-seulement égaux, mais encore sus- 

 ceptibles de coïncider de trois manières différentes. Or, en vertu du lemme II, 

 ces corps solides sont trièdres, tétraèdres ou pentaèdres, et dans chacun de 

 ces trois cas, la triple coïncidence serait impossible s'ils n'avaient les faces 

 égales et également inclinées; tontes les faces qui aboutissent *im même 

 sommet du polyèdre convexe sont donc superposables, et comme la coïnci- 

 dence des deux polyèdres convexes peut se faire en plaçant un sommet arbi- 

 traire de l'un sur un sommet désigné de l'autre, une même face peut coïn- 

 cider avec celle qui lui est identique, et de manière que deux sommets 

 arbitraires soient l'un sur l'autre. On en conclut que les faces sont des poly- 

 gones réguliers, et par conséquent le polyèdre convexe remplit les trois 

 conditions qui forment la définition du polyèdre régulier, et le théorème 

 est démontré. 



» Théorème' II. — Il ri'existe que quatre polyèdres d'espèce supérieure. En 

 vertu du théorème précédent, pour obtenir les polyèdres réguliers d'espèce 

 supérieure, il faut évidemment prendre les polyèdres réguliers convexes et 



