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 peuvent être considérés comme appartenant à des pentagones étoiles qui 

 forment le dodécaèdre étoile de seconde espèce. 



» Il n'y a donc en tout que quatre polyèdres étoiles qui sont précisément 

 ceux que M. Poinsot a découverts. 



» M. Poinsot, dans son Mémoire de 1809, indiquait comme bien vrai- 

 semblable la non-existence de solides réguliers autres que ceux qu'il avait 

 décrits. « S'il existait, par exemple, disait M. Poinsot, un nouveau polyèdre 

 » régulier dont les faces seraient au nombre de a8, et si l'on marquait les 

 » centres de ces faces, on aurait un égal nombre de points distribués régu- 

 » lièrement sur la sphère. Or par tous ces points comme sommets on pour- 

 » rait faire passer un polyèdre entièrement convexe suivant la définition 



» ordinaire Mais on ne voit pas pourquoi ce polyèdre dont les som- 



i> mets sont uniformément répandus sur la sphère, ne serait pas un po- 

 » lyèdre parfaitement régulier; on aurait donc un polyèdre régulier de la 

 » première espèce, dont le nombre des sommets ne serait pas un des nom- 

 » bres 4, 6, 8, 12, ao, ce qui a été démontré tout à fait impossible. » 

 [Journal de [École Polytechnique, 10* cahier, page 43-) 



» M. Poinsot voyait donc clairement, sans l'affirmer d'une manière for- 

 melle, que chaque polyèdre régulier d'espèce supérieure était successive- 

 ment lié à un polyèdre régulier de première espèce. M. Cauchy a prouvé 

 l'exactitude de cette assertion en prenant pour polyèdre conjugué d'un 

 polyèdre donné le noyau convexe formé par les plans de ses faces. Je viens 

 de montrer que le polyèdre convexe qui a les mêmes sommets qu'un po- 

 lyèdre régulier étoile est nécessairement régulier : une démonstration toute 

 semblable permettrait d'établir rigoureusement la proposition même énon- 

 cée par M. Poinsot, et de démontrer que les centres des faces d'un polyèdre 

 régulier forment un polyèdre régulier, et il ne serait pas difficile d'en dé- 

 duire une troisième preuve du théorème qui fait l'objet de cette Note. » 



AIËMOIRES LUS. 



MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Réponse de M. Reech à la Note lue par M. Phillips 



dans la dernière séance. 



(Renvoi à l'examen de la Section de Mécanique.) 



« Dans la dernière Note de M. Phillips, je trouve l'assertion que voici : 

 » On sait depuis longtemps que la coulisse ordinaire doit être tracée 

 » avec un rayon sensiblement égal à sa distance à l'axe. » 



