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» La première de ces relations montre que des quatre fonctions d une 

 seule est impaire, celle qui correspond aux. valeurs |x ^^ i, v = i ; les deux 

 suivantes montrent comment la formule (A), quels que soient les entiers |x 

 et V, ne donne effectivement que quatre fonctions distinctes; enfin la der- 

 nière permet d'exprimer ces fonctions par une seule d'entre elles. A ces 

 relations nous joindrons enfin, bien que nous n'ayons pas à l'employer ici, 

 la suivante, qui fournit les équations algébriques ou différentielles aux- 

 quelles satisfont nos fonctions, et où je suppose 



fi.—- ^' = oc, V — v' = ]3, 

 savoir : 



26^,^(0: + jr) 0^.,., [X - j) Ô«,o (O) Oo, ^ (O) 

 = Ô,.,„(a7)9^',.-(jp)ô„,o(j)9o,^(j) 



+ (-if5^ + .,„(a:)Ô^' + ,,,/(a:)Ô„ + ,,o(j)5,,^(jr) « 

 + (-i)"Ô/.+,,„+,(x)Ô^'+,,,/+,(a:)Ô„+,,,(j)ô,,^+, (_y) 

 + 0^, „+, (a:) ô^-, ,/ +. (^) ^«. . (jr) Ôo, /3-t-. (7). 



» Cela posé, soient rt, b, c, d des entiers tels, que ad — bc = k, 

 k étant essentiellement différent de zéro et positif, faisons 



_ c -\- (lia 



» il = j—1 



a -f- ba> 



m = flfX + iv + flé, 



XI. = C [L + dv + cd, 



n{x) = Q^^.^[{a + b^)x]e' ^'^'^ ''"'''% 



on aura les relations fondamentales (, 



qui servent à exprimer ll{x), quels que soient /u. et v, au moyen des quatre 



