{ '74 ) 

 » Des cas particuliers de cette relation ont été déjà donnés par Jacobi 

 dans un Mémoire sin- l'équation différentielle à laquelle satisfont les 

 séries 



i ± 2q -{- 7.q* + 2ç' -f- . . . , :i\lq + isjq" + i\jq^^ + .. . 



{Journal de M. Crelle, tome XXXIV, et Journal de M. Liouville, traduction 

 de M. Fiiiseux). Mais l'illustre auteur, laissant de côté la détermination 

 de <?, se borne à annoncer que le signe de la constante dépend de la quan- 

 tité désignée par le symbole ( -r \ dans la théorie des résidus quadratiques. 

 Ce fait si remarquable résulte, en effet, des propriétés de la série 



= 2 "" 



4 — 1 



■ iTc ■ 



0- = > e 



p ' 



qui se trouve comme facteur dans la valeur de T. Soit d'abord 

 |3 étant impair, on aura 



a/3 + i 



a=' + ^^-') 



(^) '• ^^' 



si a est pair, et 





•p. 



(-.) {^)i fk. 



lorsque a est impair. 



» En second lieu, supposons b impair; alors on pourra déterminer deux 

 nombres entiers m et « par l'équation 



a = mb — 8/1, 



et l'on aura 



5- = e 



■~ (n\ .V"^/ ,T 



