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 ajouté les surfaces dont les lignes de courbure d'un système sont dans des 

 plans passant par une même droite. Mais il restait à résoudre ce problème 

 général : Quelles sont les surfaces dont les lignes de courbure sont planes 

 dans les deux systèmes, planes dans un système et sphériques dans l'autre, 

 enfin sphériques dans les deux systèmes? M. Bonnet (lo janvier i853) pu- 

 blia une étude complète des surfaces dont toutes les lignes de courbure 

 sont planes. Sa méthode consistait à déduire des propriétés d'un double 

 système de cercles orthogonaux tracés sur \me sphère l'équation aux diffé- 

 rentielles partielles du second ordre, puis l'équation sous forme finie de 

 ces surfaces. 



» M. Serret, après avoir pris connaissance de l'extrait du Mémoire de 

 M. Bonnet, donna de la même question une autre solution très-élégante, 

 fondée sur une propriété bien connue du plan d'une ligne de courbure 

 plane. Celte solution nouvelle fut présentée à l'Académie des Sciences le 

 24 janvier i853. Ensuite MM. Bonnet et Serret appliquèrent, chacun de 

 leur côté, la même méthode aux siu'faces à lignes de courbure planes dans 

 un système et sphériques dans l'autre, ou sphériques dans les deux systèmes, 

 et ils publièrent presque simultanément les résultats de leurs recherches. 



» Après ces travaux remarquables, la solution de la question pouvait 

 être regardée comme complète au point de vue analytique. Mais était-il 

 possible de démontrer, par une méthode purement géométrique, les prin- 

 cipales propriétés des surfaces à lignes de courbure planes et sphériques? 

 C'est là le problème que je me suis proposé. 



» J'étudie d'abord les surfaces dont les lignes de courbure sont planes 

 dans les deux systèmes : je rattache, comme M. Bonnet, la théorie de ces 

 surfaces à la considération d'un double système de cercles orthogonaux 

 tracés sur une sphère. 



» Je m'occupe ensuite des surfaces dont les lignes de courbure sont 

 planes dans un système et sphériques dans l'autre. Outre les résultats déjà 

 énoncés par MM. Bonnet et Serret, je donne les suivants : 



M 1". Si toutes les lignes de courbure d'un système sont situées sur des 

 sphères concentriques, les lignes de courbure de l'autre système sont dans 

 des plans passant par le centre commun des sphères et coupant la surface 

 orthogonalement ; 



u 1°. Si toutes les lignes de courbure d'un système appartiennent à des 

 sphères ayant leurs centres sur une même droite, et telles que le produit 

 de leur rayon par le cosinus de l'angle qu'elles forment avec la surface 

 soit constant ou proportionnel à la distance de leur centre à un point fixe 



