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 situé sur la droite, les lignes de courbure de l'autre système sont dans des 

 plans parallèles à la droite ou passant par un même point de cette droite; 



» 3°. Si les lignes de courbure d'un système sont dans des plans parallèles 

 à une même droite, et coupant la surface sous un angle dont le cosinus 

 est proportionnel à leur distance à une droite fixe, les lignes de courbure 

 de l'autre système appartiennent à des sphères dont les centres sont situés 

 sur cette droite. 



» Quant aux surfaces dont toutes les lignes de courbure sont sphériques, 

 j'en donne une théorie toute nouvelle, fondée sur cette propriété des deux 

 systèmes de sphères qui contiennent les lignes de courbure sphériques : que 

 chaque sphère d'un sjstème coupe toutes les sphères de l'autre système sous des 

 angles dont les cosinus sont proportionnels aux cosinus des angles que ces mêmes 

 sphères forment avec la surface. 



n Je démontre ainsi que les centres des sphères des deux systèmes sont 

 ou sur une même droite ou dans un même plan, que les sphères d'un 

 même système passent par un même cercle ou par deux mêmes points qu'on 

 peut toujours rendre réels par une dilatation convenable de la surface, de 

 telle sorte que toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques sont des 

 transformées par rayons vecteurs réciproques des surfaces à lignes de cour- 

 bure planes ou à lignes de courbure planes et sphériques, ou sont des sur- 

 faces parallèles à ces transformées. 



» J'applique la même méthode aux surfaces à lignes de courbure planes 

 et aux surfaces à lignes de courbure planes et sphériques. Je retrouve ainsi 

 très-simplement tous les résultats déjà fournis par des considérations diffé- 

 rentes. 



» J'aurais pu me borner à cette nouvelle solution qui est commune aux 

 trois catégories de surfaces, et qui me paraît une des plus simples et des plus 

 élémentaires qu'on puisse proposer. 



» Je donne ensuite la génération des surfaces enveloppées de sphères dont 

 toutes les lignes de courbure sont planes ou sphériques; je démontre entre 

 autres ce théorème remarquable que, si le centre d'une sphère se meut sur 

 ijne surface de révolution du second ordre et si son rayon est proportionnel 

 (le coefficient de proportionnalité ayant une valeur convenable) à la dis- 

 tance de son centre au plan de l'équateur de la surface, l'enveloppe de cette 

 sphère mobile a toutes ses lignes de courbure sphériques. » 



