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ANALYSK MATHKMATIQUE. —Sur la résolution de t équation du cinquième degré; 



par M. Hermite. 



« On sait que l'équation générale du cinquième degré peut être ramenée, 

 par une substitution dont les coefficients se déterminent sans employer 

 d'auties irrationnalités que des radicaux carrés et cubiques, à la forme 



x^ — X — a = o. 

 Ce résultat remarquable, dû au géomètre anglais M. Jerrardj est le pas le 

 plus important qui ait été fait dans la théorie algébrique des équations du 

 cinquième degré, depuis qu'Abel a démontré qu'il était impossible de les 

 résoudre par radicaux. Cette impossibilité manifeste en effet la nécessité 

 d'introduire quelque élément analytique nouveau dans la recherche de la 

 solution, et à ce titre il semble naturel de prendre comme auxiliaire les ra- 

 cines de l'équation si simple dont nous venons de parler. Toutefois, pour 

 légitimer véritablement son emploi comme élément essentiel de la résolu- 

 tion de l'équation générale, il restait à voir si cette simplicité de forme per- 

 mettait effectivement d'arriver à quelque notion sur la nature de ses racines, 

 de manière à saisir ce qu'il y a de propre et d'essentiel dans le mode d'exis- 

 tence de ces quantités, dont on ne sait jusqu'ici rien autre chose, si ce n'est 

 qu'elles ne s'expriment point par radicaux. Or il est bien remarquable que 

 l'équation de M. Jerrard se prête avec la plus grande facilité à cette re- 

 cherche, et soit même, dans le sens que nous allons expliquer, susceptible 

 d'une véritable résolution analytique. On peut en effet concevoir la question 

 de la résolution des équations algébriques sous un point de vue différent de 

 celui qui depuis longtemps a été indiqué par la résolution des équations 

 des quatre premiers degrés, et auquel on s'est surtout attaché. Au lieu de 

 chercher à représenter par une formule radicale à déterminations mul- 

 tiples le système des racines si étroitement liées entre elles lorsqu'on les 

 considère comme fonctions des coefficients, on peut, ainsi que l'exemple en 

 a été donné dans le troisième degré, chercher, en introduisant des va- 

 riables auxiliaires, à obtenir les racines séparément exprimées par autant de 

 fonctions distinctes et uniformes relatives à ces nouvelles variables. Dans 

 le cas dont nous venons de parier, où il s'agit de l'équation 



X' — ?>X -H 2 a := O, 



royal d'Angleterre, en date du 8 mars i858, dans le dernier numéro des Notices de la Société 

 ^astronomique de Londres. ) Toutefois les apparences ne variaient pas aussi rapidement à 

 Paris qu'à Londres ou à Oiiessant. 



