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» Nous rappellerons encore cette propriété fondameiitale qu'en désignant 

 par n un nombre premier et posant 



v = (f[na>), u:=(p{Gj), 



i> el u sont liés par une équation de degré n + i, qui présente ainsi un type 

 nouveau d'équations algébriques dont les racines se séparent analytique- 

 ment par l'introduction d'une nouvelle variable. En désignant, en effet, par 

 e un nombre qui soit i ou — i, suivant que 2 est résidu ou non résidu qua- 

 dratique par rapport à n, les ra + i racines u seront 



ecpina) et ç (^ J.. 



m étant un nombre entier pris suivant le module ra (*). Mais sans insister 

 ici sur les autres propriétés remarquables des équations modulaires, je 

 m'attacherai seulement au fait si important annoncé par Galois, et qui 

 consiste en ce qu'elles sont susceptibles d'un abaissement au degré inférieur 

 d'une unité dans les cas de 



n = 5, n = 7 et n=ii. 



Bien que nous ne possédions que quelques fragments de ses travaux sur 

 cette question, il n'est pas difficile, en suivant la voie qu'il a ouverte, de 

 retrouver la démonstration de cette belle proposition; mais on n'arrive ainsi 

 qu'à s'assurer de la possibilité de la réduction, et une lacune importante 

 restait à remplir pour pousser la question jusqu'à son dernier terme (**)• 

 Après des tentatives qui remontent à une époque déjà éloignée, j'ai trouvé 

 que dans le cas de l'équation modulaire du sixième degré 



on y parvenait aisément en considérant la fonction suivante 



(*) La détermination de e a été donnée par M. Sohnke dans un excellent travail publié 

 dans le tome XVI du Journal de M. Crelle sous le titre : Mquationes modulares pro trans- 

 formatione fonctionuin ellipticarum, 



{**) Postérieurement à mes premières recherches restées inédites, mais dont les résultais 

 avaient été annoncés (ftB«crt'j de Jacohi, t. Il, p. 249), un géomètre italien distingué, 

 M. Betti, a publié un travail sur le même sujet dans les /annales de M. Tortolini. 



