( 54o ) 

 » Il est utile de remarquer la forme de la veine liquide à la sortie du pre- 

 mier tube et à sa rencontre avec celui qui l'a fait diverger. Elle ressemble à 

 celle d'un pavillon de trompette. Je crois pouvoir en conclure que si Ton 

 donnait une forme analogue à l'extrémité du tuyau fixe de l'appareil, pour 

 l'étude duquel j'ai fait ces observations, la veine liquide pouvant alors 

 prendre une forme peu différente de celle qu'elle aurait étant libre, on 

 réduirait considérablement sa résistance, sans être pour cela obligé de faire 

 lever aussi haut le tube mobile. Cela permettrait de bien profiter en même 

 temps de la partie de la force de succion, qui provient d'un phénomène 

 d'ajutage dans l'espace annulaire compris entre le tube mobile, quand il est 

 soulevé, et la partie fixe de l'appareil. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Note sur la théorie de ta décomposition des 

 fractions rationnelles; par M. E. Rocché. 



« 1. Soit 



fjf) 



une fraction rationnelle irréductible dont le numérateur est de degré 

 moindre que le dénominateur ; on sait que, lorsque les m racines a, h, 

 c,..., /de l'équation F (x) =: o sont inégales, la fraction se décompose en 

 fractions simples données par la formule 



(0 



F(x) ¥'{a) x — a V [b) jc ~ b " ' " " ^ F' (/) 



» Cette formule renferme implicitement tous les cas ; et l'on doit pouvoir en 

 déduire le développement d'une fraction dont le dénominateur possède des 

 facteurs multiples, à l'aide de l'artifice général, d'un si fréquent usage en 

 analyse, qui consiste à substituer au polynôme dénominateur un nouveau 

 polynôme dont tous les facteurs sont inégaux et dont les coefficients diffè- 

 rent infiniment peu de ceux du premier. 



» Toutefois, la complication apparente des expressions obtenues par ce 

 procédé, dans le cas même le plus simple où il n'y a que deux racines 

 égales, a fait jusqu'ici regarder cette méthode comme impropre à fournir la 

 loi générale du développement d'une fraction dont le dénominateur a des 

 facteurs multiples. 



» Je me propose de combler cette lacune de la théorie, et de montrer 

 comment, à l'aide de notations heureusement choisies, on peut parvenir 

 par cette voie et sans de grands efforts à la loi générale demandée. 



