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 » 2. Supposons que l'équation F(j:) = o ait a racines égales à a; et 

 posons 



F(x)=(:r-arF,(^), ^ = <p(a:). 



F {x) étant de degré m, F, (x) est de degré m — a, et, par suite, <p (a:) est 

 de degré inférieur à a et ne devient ni nul ni infini pour x = a. 

 » Au polynôme F {x) substituons le suivant : 



F,{x) [x-a- p,h) {x -a-p,h)...{x~a-p^h) = F,{x)^{x), 



où p,, p^,p3,...,p^ sont des nombres quelconques, mais déterminés. Le 

 développement de la fraction 



/(■^) _ vi^) 



F,(.r)4,(;r) ,!,(x)' 



pris à la limite pour h±= o, donnera celui de ^4^- 



M 5. Pour plus de clarté, j'établis d'abord deux lemmes. 

 " Lemme l. — En désignant parQ[p)z=o l'équation qui a pour racines 

 les quantités p,i p^-, p^-, ■ ■ -, p^, on a la relation 



<i^'{a+p,h) = k'-'e'{p,). 

 En effet, l'égalité 



'^{x)= {x — a — p,h)(x — a — p^h).. .{x— a — p^h) 

 donne 



'i^' {x) = [x - a- p^h){x -a - p^h) ...[x - a - pi_,h){x- a - pi^^h)... 

 ...{x-a-pji)-h{x- a- pih)K, 



et, par suite, 



y {a -h Pih) = h'^-' ipi-p,) (p, -p,)... [pi - Pi-,) {pi -pi^,) . . Api-p^) 

 = r-lun[^^ pour p=.p,] = r-'e'(^,). 



C. Q. F. D. 



» Lemme IL — En désignant par n l'un quelconque des nombres i, a, 

 3,. . ., a, on a 



lun y « ,,, ^2^ ,' ' ( pour h = o = — ^ ^^^-- . 



*^P = P, -Yia+ph) ^i I 1.2.,. a — 7î) 



