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 tile de m'arrêter à ce rapprochement qui peut-être conduira à comparer de 

 même les équations du neuvième degré dont dépendent les coordonnées 

 des points d'inflexion, avec celle qui se présente pour exprimer, par exem- 

 ple, sin am ^ par sin amx. Cette analogie, d'ailleurs, m'a ouvert la voie poui- 



représenter par les transcendantes elliptiques les racines de l'équation 

 générale du quatrième degré, ce qui était le résultat auquel je désirais prin- 

 cipalement parvenir. Avant d'exposer cette recherche qui se lie naturelle- 

 ment à celles que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Académie sur 

 l'équation du cinquième degré, je rappellerai l'origine et j'indiquerai les 

 propriétés principales de ces équations spéciales du quatrième degré, 

 auxquelles conduit la théorie des formes cubiques à trois indéterminées. 



» Soient, en employant les mêmes désignations que M. Cayley (*), U une 

 forme cubique quelconque, HU, PU, QU, le covariant et les deux formes 

 adjointes du troisième degré par rapport aux indéterminées, S etT les deux 

 invariants de M. Aronhold, et S, une quantité définie par la condition 



S'-+-S? = t», 

 ces équations seront : 



(i) J\x) = x*-6S x'-STx-?>S' = o, 



(2) /,(a7) = a*-6S,a:^-8Tj:-3Sî = o, 



(3) F(ic)= i2S.r*-i-8Tj:'-6S*.r»-6STa?-r-jS»=o, 



et voici leurs propriétés essentielles. Soient <? une racine de la première et A 

 une racine de la troisième, les deux fonctions 



c?U+6HU, 6APU + QU 



seront décomposables en facteurs linéaires. Désignons encore par â, une 



(*) Je renverrai,' pour les expressions de HU, PU, etc., au beau travail du savant géomètre , 

 publié dans les Transactions de la Société Royale, sous le titre : Third memoir upon Quanties, 

 et je me bornerai à donner ici leurs formes canoniques qui sont ; 



HU= f (x'+ j'»-|-z») — (1 + 2 P) ajya, 



VU = — l[x>+y*-JrZ^) — {i—^P)xxz, 



QU = (i — 10 P) (*' + ^> -+-«>) — 6/'(5 4-4 l')xyz, 



s=— 4/ + 4/S 



T = i — 20/'— 8/% 



S,= i-f-8/'. 



