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 » Maintenant si l'on change S en S,, afin d'arriver aux formules analo- 

 gues pour les racines â, de l'équation (2), on sera conduit au module 



l»^ Ws? 



T + ^Sf' 

 or à la relation S* -f- SJ = T» correspondra, entre k et /, celle-ci : 



d'où résulte immédiatement cette conséquence, que l'on passe de c? à d*,, en 

 changeant simplement w en -. 



» Mais il est une autre équation du quatrième degré que présente égale- 

 ment la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, et à la- 

 quelle se ramènent d'une manière plus immédiate encore les équations ( i ) 

 et (2). Je veux parler de la relation entre le multiplicateur M et le mo- 

 dule k, qui est, en faisant ^ == z (*) : • 



2«_62^-8(i -2A»)-3 = o. 



(*) Jacobi a appelé le premier l'attention sur ces équations qui offrent un grand intérêt, 

 en particulier pour cette théorie de la multiplication complexe, sur laquelle M. Kronecker a 

 récemment communiqué à l'Académie de Berlin des résultats aussi beaux qu'importants. Mais 

 jusqu'ici on ne connaissait que l'équation doimée par Jacobi, et qui se rapporte à la transfor- 

 mation du cinquième ordre. Celle que j'ai employée a été calculée par le P. Joubert qui, 

 suivant l'exemple donné par M. Sohnke pour les équations modulaires, s'est occupé avec, 

 succès de leur formation, et les a obtenues pour le cinquième, le septième et le onzième ordre, 

 sous les formes suivantes : , 



(M — I )W M — ^ I -f- ^ AM" M> = 0, 

 k''(M+ i)MM — -| -i-*'(M — i)'(m-+--J -4-3.2'>t'X"lVl« -f- — A'*"(*»— >f")M' = o, 



*"(M-f- i)"[m — — ) -(-X'(M— 1)" /m r+-— ) + ~ i'fc" {/i' — A") {i5 — -2" i' k")n" 



-H 3 . 2U' A" ( I II -(- 2» /t' it" ) M'° + 83 . 2" . /t' /•" ( A' — /t" } M» 4- 2 1 . 2U> f:" M* 

 -h 2" *' A" (/t' — X") M' -H 33 . 2' /f ' A" M« = o. 



Un autre résultat très-intéressant, obtenu aussi par le P. Joubert, consiste en ce que, si l'on 

 nomme M, M', M", etc., les racines de l'équation pour le cinquième ordre, la fonction sui- 

 vante des racines analogue à celle qui m'a donné la résolution de l'équation de M. Jerrard, 



