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 non plus aux relations qui existent entre les racines de chacune des équa- 

 tions J{x) = o,f, {x) = o, F(x) = o, et auxquelles conduisent aisément 

 tes expressions que nous avons données. Seulement j'observerai que ces 

 équations, comme celles de la théorie. des fonctions elliptiques que j'ai 

 employées, n'appartiennent pas au type d'irrationnalités le plus complexe de 

 l'équation générale du quatrième degré. Effectivement, si l'on considère à 

 leur égard l'équation en V de Galois, dont le degré distingue et caractérise 

 d'une manière si précise ce qu'on peut appeler les divers ordres d irrationnalitéa, 

 on la trouve seulement du douzième degré, tandis que dans le cas général elle 

 est nécessairement du vingt-quatuième. Il existe donc pour ces équations des 

 fonctions non symétriques, exprimables rationnellement par les coefficients, 

 et le type de ces fonctions est donné très-simplement par le produit des six 

 différences des racines. De là découlent, pour la théorie des fonctions ellip- 

 tiques, d'importantes conséquences, se résumant dans ce fait, que le produit 

 des deux fonctions y ( co) et i]; (w) est /e cube d'une nouvelle fonction également 

 bien déterminée. Une formule depuis longtemps obtenue par Jacobi {Fun- 

 damenta, § 36, équat. 4) donnait déjà, il est vrai, la notion de cette nouvelle 

 transcendante, mais sans conduire à aucune dç ses propriétés, que je vais 

 indiquer succinctement en terminant, cette Note. Et d'abord je la définirai 

 par l'équation 



X(") = vâ.'V7(i-9)(«-H7*)(.-7')(' + /)— 



en faisant toujours q = e'^" , de sorte que, relativement à u, on obtienne 

 une expression entièrement déterminée. Cela posé, on aura ces relations 

 qui se démontrent immédiatement, savoir : 



» Voici maintenant celles qui se rapportent aux substitutions de la 



forme _^ , , a, b, c, d étant des nombres entiers assujettis à la condition 



ad — bc=i, et qu'il importait surtout d'obtenir. Distinguant, ainsi que je 

 J'ai déjà fait dans une circonstance toute semblable, ces substitutions en six 

 classes (Compto rendus, page 5i i), et posant, pour abréger, 



^^ (ai + jc-t- iii — ab'c) 



