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 riodes imaginaires de l'intégrale 



i zdx efy, 



z désignant la fonction de a? et ^ que fournirait l'équation 



f{x,x,z) = o, 



résolue par rapport à z s'il était possible. 



» Des considérations géométriques simples rendent raison de ces farts, 

 que l'on ne vérifierait qu'à grand'peine par le calcul. Mais les démonstra- 

 tions que j'ai proposées ne pourraient être reproduites pour les intégrales 

 d'ordre supérieur au second, intégrales dont je ne m'étais en effet pas 

 occupé. 



» Je me propose, dans cette Note, d'établir relativement à une intégrale 

 de l'ordre n d'une fonction d'autant de variables x, /, z,..., u, t 



JF [x, f,z,..., u, t) dx. dy.dz du. dt, 



que si l'on groupe les solutions imaginaires de l'équation qui donne impli- 

 citement la fonction F, en réunissant toutes celles où les parties imaginaires 

 de X, j-, z,..., u, t, F seraient comme des nombres constants C, C, ..., 

 C/i, C„+,, et que dans chaque système il existe un ensemble de solutions 

 continues, fermé de toutes parts, et qui sera d'ailleurs limité par des solu- 

 tions réelles, la valeur de l'intégrale prise dans l'intérieur de ces limites sera 

 une quantité constante, qui fournira l'une des périodes imaginaires de l'in- 

 tégrale générale. 



» La recherche d'une intégrale composée, lorsque les variables dont elle 

 dépend ne doivent prendre que des valeurs réelles, peut se ramener à des 

 intégrations successives sans préparation préalable ; mais il n'en est plus de 

 même lorsque ces variables doivent passer par des valeurs imaginaires. 



» Dans ce cas, pour définir l'intégrale dont on veut s'occuper, comme 

 chaque variable imaginaire en représente en réalité deux, il faut d'abord 

 réduire le nombre des variables vraiment distinctes à l'ordre de l'intégrale 

 qu'on veut former, c'est-à-dire lier entre elles les parties réelles et imagi- 

 naires des variables dont dépend la fonction placée sous le signe / , par 



des relations en nombre suffisant pour que celles de ces parties, qu'on 

 pourra alors considérer comme indépendantes, soient en nombreégal à celui 

 qui représente l'ordre de l'intégrale. ^ 



