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» Ces dispositions prises, généralement, on ne pourrait plus faire varier 

 séparément et successivement entre leurs limites respectives les variables 

 dont dépendait l'intégrale. Les éléments qu'on engendrerait ainsi n'appar- 

 tiendraient habituellement pas à la somme qu'on voulait former. 



» Pour ramener à des intégrations successives la formation de l'intégrale 

 proposée, il faudra substituer des variables réelles aux variables imagi- 

 naires dont elle dépendait d'abord. 



» Une pareille transformation est toujours possible, puisqu'on pourrait en 

 tout cas prendre pour nouvelles variables les parties réelles ou affectées du 

 signe v' — i des variables primitives. 



» Dans le cas qui nous occupe, le changement de variables se fera plus 

 iiisément. 



» Désignons par ç la variable F {x, jr, z,..., m, <); si les parties imaginaires 

 d^ x, jr, z,..., «, t, cp doivent être comme C, C'^ C",..., C„_,, C„, C„+, : en 

 posant 



les nouvelles variables indépendantes x', y, z',. .., u', t' seront devenues 

 toutes réelles; l'équation d'où on avait tiré 



? = F(x,/, z,...,w, f). 



donnera d'ailleurs la valeur de f en fonction de x', y, z',..., u', t'), et l'in- 

 tégrale proposée pourra s'écrire 



fdx' ffij' Çdz',-; fdu' Tf, (x', y, z',.. .,«',«') 



dt. 



Les limites de chaque intégration devant être déterminées par ces condi- 

 tions, que la variable indépendante et la variable dépendante y soient 

 réelles. 



» Cela posé, nous avons à démontrer que l'intégrale resterait la même, 

 quelques valeurs qu'on donnât à C, C, C",..., C„, C„+, . Il suffira pour cela 

 de faire voir qu'on pourrait faire varier arbitrairement l'un de ces coeffi- 

 cients caractéristiques, C„ par exemple. 



» Or, le premier des théorèmes que nous avons rappelés ne signifie autre 

 chose, si ce n'est que la valeur d'une intégrale simple prise entre des limites 

 où la variable et la fonction sont réelles, a sa partie imaginaire formée par 

 addition ou soustraction des termes de progressions par différence dont les 



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