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MÉMOIRES PRESENTES. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Mémoire sur le glissement et le roulement des corps 

 solides et sur quelques propriétés des surfaces; par M. H. Resal. (Extrait 

 par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Poncelet, Morin, Bertrand.) 



« Dans le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie, et que 

 j'ai divisé en trois parties, j'étudie les propriétés géométriques du mouve- 

 ment relatif de deux corps solides dont les surfaces sont assujetties à rester 

 continuellement en contact par un ou plusieurs points. 



■ La première partie renferme des généralités sur le problème proposé, 

 qui se ramène immédiatement au cas où l'un des corps est fixe. Le mouve- 

 ment, considéré sous son point de vue le plus général, résulte d'un glisse- 

 ment et d'un roulement simultanés, donnant lieu à deux déplacements que 

 j'examine chacun en particulier. De là je déduis quelques propriétés rela- 

 tives à l'enveloppe des positions d'une surface mobile, les conditions néces- 

 saires pour qu'une surface réglée se raccorde avec son enveloppe ou se 

 meuve de manière à se raccorder constamment avec une autre surface ré- 

 glée supposée donnée. 



j» Dans la seconde partie, j'établis, par des considérations dynamiques et 

 géométriques, quelques nouvelles propriétés sur la courbure des surfaces, 

 auxquelles j'ai été conduit en étudiant le roulement d'une manière spéciale. 

 Parmi ces propriétés, je citerai les suivantes : 



» 1°, La moyenne géométrique entre les rayons de courbure principaux, 

 en un point d'une surface à courbures opposées et non réglée, est égale au 

 rayon de torsion des courbes asymptotiques passant par ce point. 



)■ Si l'on appelle r ce rayon de torsion, â l'angle formé par les asymptotes 

 de l'indicatrice, p le rayon de courbure de la section normale perpendicu- 

 laire à l'une de ces droites, on a la relation 



tang d* = — 2 £' 



T 



» 2°. Dans une surface gauche, la moyenne géométrique entre les rayons 

 de courbure principaux en un point d'une génératrice varie eu raison in- 

 verse du carré du cosinus de l'angle que forme le plan tangent en ce point, 



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