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 rebuté dès l'abord par la longueur et la complication, je dirais presque par 

 l'impossibilité apparente du calcul. 



» Dans une conversation accidentelle, M. Liouville m'a paru penser que 

 cette recherche ne serait pas sans utilité pour la science. La question a 

 repris de l'importance à mes yeux. Elle a eu l'attrait de la difficulté pro- 

 posée. 



» Pour plus de simplicité, en m'appuyant sur des analogies, j'ai com- 

 mencé par une intégrale double; je nie suis occupé ensuite des intégrales 

 quadruples qui sont le véritable objet de ce travail. 



» J'ai fait voir que les différentiations relatives aux variables indépen- 

 dantes des intégrations se ramènent à des différentiations relatives à l'une 

 d'elles seulement, à la faveur de facteurs qui se présentent comme d'eux- 

 mêmes en dedans des signes de ces intégrations. 



» On reconnaît alors immédiatement comment les intégrales peuvent en 

 effet satisfaire à des équations différentielles partielles, homogènes, à coeffi- 

 cients constants. 



» J'ai admis la restriction que les fonctions arbitraires et leurs dérivées 

 jusqu'à un certain ordre s'évanouissent pour des valeurs infinies des varia- 

 bles : cette restriction d'ailleurs paraît nécessaire en général pour que les 

 intégrales ne soient ni infinies, ni indéterminées. 



» La vérification des conditions initiales demandait que, dans une hypo- 

 thèse particulière, t nul par exemple, les fonctions arbitraires pussent se 

 trouver nettement en évidence par leur sortie hors des signes d'intégration. 

 La rigueur de la démonstration m'a entraîné beaucoup plus loin que je ne 

 m'y attendais : c'est toute une seconde partie du Mémoire. 



II est facile de concevoir que la question est susceptible d'extension 

 et de généralisation dans plusieurs sens. Deux points surtout semblent de- 

 voir attirer l'attention dans l'intérêt de l'avenir : 



» 1°. Trouver des formules de ce genre, par une méthode analytique 

 directe; 



» a°. Exprimer, de même, les conditions initiales. 



» J'ai déjà fait quelques tentatives qui n'ont pas été sans résultats. Je 

 continuerai avec persévérance si l'Académie daigne encourager mes 

 efforts. » 



ii6. 



